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| Aufgabe | Für x > 0 ist die folgende Differentialgleichung gegeben.
xy' − 2y = ln(x).
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung!
(Hinweis [mm] \integral_{}^{x}{ \bruch{ln(x)}{x^2}dx} [/mm] = [mm] -\bruch{ln(x+1)}{x} [/mm] )
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Hallo zusammen,
wie packe ich diese DGL an. habe leider keinen Ansatz. Über jede Hilfe wäre ich dankbar!
Danke Matthias
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Naja, einer der vielen möglichen Wege wäre sicherlich die Lösungsformel für lineare DGls 1. Ordnung, oder? ^^
y' = f(x)*y + s(x)
In deinem Fall ist f(x) = [mm] \bruch{2}{x} [/mm] und s(x) = [mm] \bruch{ln(x)}{x}
[/mm]
Für die homogene DGl (in der s(x) = 0) ist die allgemeine Lösung [mm] y(x)=e^{F(x) + c} [/mm] mit c [mm] \in \IR [/mm] und F(x) = [mm] \integral [/mm] f(x) dx
Durch Variation der Konstanten ( c wird zu c(x) ) kannst du das dann zu einer Lösung für die tatsächliche Gleichung führen:
Ist [mm] y_{p} [/mm] Lösung der DGl, so gilt [mm] y_{p}' [/mm] = [mm] c'(e^{F(x)}) [/mm] + [mm] c*e^{F(x)}f(x) [/mm] und das ist nV = [mm] y_{p}(x)f(x) [/mm] + s(x). Da du schon weisst, dass [mm] y_{p}(x)f(x) [/mm] = [mm] c*e^{F(x)}f(x), [/mm] folgt [mm] c'(e^{F(x)})=s(x) [/mm] und damit c(x) = [mm] \integral \bruch{s(x)}{e^{F(x)}}dx
[/mm]
Und das setzt du dann ein und es folgt
[mm] y_{p}(x) [/mm] = [mm] (\integral \bruch{s(x)}{e^{F(x)}}dx)*e^{F(x)} [/mm] als eine spezielle Lösung der DGl.
Wenn du alle Lösungen haben willst, benutzt du einen kleinen Trick:
Es sei [mm] y_{~} [/mm] die allgemeine Lösung, dann kannst du [mm] y_{p} [/mm] von [mm] y_{\sim} [/mm] abziehen und erhälst eine homogene DGl. Die kannst du wie oben lösen und erhälst [mm] y_{\sim} [/mm] = [mm] y_{p} [/mm] + [mm] c*e^{F(x)}
[/mm]
Das ist schon alles ;o)
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