DGL höherer Ordnung auf erste < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 So 29.03.2009 | | Autor: | Tobus |
Hallo,
ich habe eine DGL der Ordnung n gegeben und will dies auf eines der Ordnung 1 reduzieren. Imskript steht folgendes Vorgehen:
Eine skalara DGL n-ter Ordnung kann immer auf ein System erster Ordnung mit n Komponenten reduziert werden. Dazu führt man die Ableitungen bis zur Ordnung n-1 als zusätzliche Unbekannte ein:
[mm] w_{0}(x)=y(x), w_{1}(x)=\bruch{dy}{dx}, [/mm] ..., [mm] w_{n-1}(x)=\bruch{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} [/mm]
Damit erhält man das System:
[mm] w'_{0}(x)=w_{1}(x), [/mm] ..., w'_{n-1}(x)=f(x, [mm] w_{0}(x), [/mm] ..., [mm] w_{n-1}(x))
[/mm]
[mm] w_{0}(a)=Y_{0}, [/mm] ..., [mm] w'_{0}(a)=Y_{n-1}
[/mm]
Wie es weiter geht sagt mir mein Skript aber nicht mehr.
Könnt ihr mir da helfen ? Das Problem ist ich habe leider kein Beispiel dazu
DANKE
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> Hallo,
> ich habe eine DGL der Ordnung n gegeben und will dies auf
> ein DGL-System der Ordnung 1 reduzieren. Im Skript steht folgendes
> Vorgehen:
>
> Eine skalare DGL n-ter Ordnung kann immer auf ein System
> erster Ordnung mit n Komponenten reduziert werden. Dazu
> führt man die Ableitungen bis zur Ordnung n-1 als
> zusätzliche Unbekannte ein:
>
> [mm]w_{0}(x)=y(x), w_{1}(x)=\bruch{dy}{dx},[/mm] ...,
> [mm]w_{n-1}(x)=\bruch{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}[/mm]
>
> Damit erhält man das System:
> [mm]w'_{0}(x)=w_{1}(x),[/mm] ..., w'_{n-1}(x)=f(x, [mm]w_{0}(x),[/mm] ...,
> [mm]w_{n-1}(x))[/mm]
> [mm]w_{0}(a)=Y_{0},[/mm] ..., [mm]w'_{0}(a)=Y_{n-1}[/mm]
>
> Wie es weiter geht sagt mir mein Skript aber nicht mehr.
>
> Könnt ihr mir da helfen ? Das Problem ist ich habe leider
> kein Beispiel dazu
Dies geht aber schon am besten an einem konkreten Beispiel.
Also machen wir eines, etwa:
$\ [mm] y'''=5*y''-\bruch{2}{1+(y')^2}+cos(y)-3x+4$
[/mm]
Gesucht sei eine entsprechende Funktion $\ y(x)$ (eventuell mit
gewissen vorgegebenen Anfangsbedingungen).
Geht man nun nach der Anleitung vor, so hat man:
$\ [mm] w_0(x)=y(x)$
[/mm]
$\ [mm] w_1(x)=y'(x)$
[/mm]
$\ [mm] w_2(x)=y''(x)$
[/mm]
[mm] w_0 [/mm] bis [mm] w_2 [/mm] sind nun die gesuchten 3 Funktionen, die
man zu einer (vektoriellen) Funktion von x zusammen-
fassen kann.
Für sie kann man nun das DGL-System erster Ordnung
aufstellen:
$\ [mm] w_0'(x)=w_1(x)$
[/mm]
$\ [mm] w_1'(x)=w_2(x)$
[/mm]
$\ [mm] w_2'(x)=5*w_2(x)-\bruch{2}{1+(w_1(x))^2}+cos(w_0(x))-3x+4$
[/mm]
Es ist erster Ordnung, denn es erhält nur erste Ableitungen.
Deshalb kann man es z.B. mit numerischen Methoden wie
etwa Runge-Kutta behandeln, die auf Systeme 1.Ordnung
zugeschnitten sind.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 29.03.2009 | | Autor: | Tobus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> $ \ w_0'(x)=w_1(x) $
> $ \ w_1'(x)=w_2(x) $
> $ \ w_2'(x)=5\cdot{}w_2(x)-\bruch{2}1+(w_1(x))^2}+cos(w_0(x))-3x+4 $
Hallo, danke schonmal die bisherigen Schritte sind mir nun alle klar, die nächsten jedoch leider noch nicht so ganz.
Du hast geschrieben dass sich nun Verfahren erster Ordnung eignen. Das wären doch zum Beispiel das explizite Eulerverfahren. Die Runge-Kuttas sind doch alle höherer Ordnung.
Wie (falls das möglich wäre) würde ich hier mit dem expliziten Eulerverfahren nun weiter machen ?
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> > [mm]\ w_0'(x)=w_1(x)[/mm]
> > [mm]\ w_1'(x)=w_2(x)[/mm]
> > [mm]\ w_2'(x)=5\cdot{}w_2(x)-\bruch{2}{1+(w_1(x))^2}+cos(w_0(x))-3x+4[/mm]
>
> Hallo, danke schonmal die bisherigen Schritte sind mir nun
> alle klar, die nächsten jedoch leider noch nicht so ganz.
> Du hast geschrieben dass sich nun Verfahren erster Ordnung
> eignen. Das wären doch zum Beispiel das explizite
> Eulerverfahren. Die Runge-Kuttas sind doch alle höherer
> Ordnung.
Die numerischen Verfahren z.B. nach Euler, Euler-Heun und
Runge-Kutta etc. beschäftigen sich alle mit Differentialgleichungen
(oder DGL-Systemen) erster Ordnung.
Das Eulersche Polygonzugverfahren ist das einfachste, allerdings
auch das ungenaueste. Doch um einen ersten Einstieg zu machen,
kann man es ja einmal damit versuchen.
Nehmen wir also das vorgeschlagene (Phantasie-) Beispiel, etwa mit
den Anfangsbedingungen
$\ [mm] x=0\,,\ y(0)=0\,,\ y'(0)=0\,,\ [/mm] y''(0)=0$
Wählen wir auch eine Schrittweite [mm] \Delta{x}=h, [/mm] zum Beispiel h=0.001.
Bezeichnen wir den Vektor [mm] \vektor{w_0\\w_1\\w_2} [/mm] einfach mit w,
so wäre elso der (Start-) Vektor:
[mm] w(0)=\vektor{w_0(0)\\w_1(0)\\w_2(0)}=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Daraus berechnet man nun nach den 3 Gleichungen den Ableitungsvektor
[mm] w'(0)=\vektor{w_0'(0)\\w_1'(0)\\w_2'(0)}=\vektor{0\\0\\3}
[/mm]
Um den nächsten Kurvenpunkt im [mm] \IR^3 [/mm] zu erhalten, rechnet man
nun w(0)+h*w'(0) und erhält (als Eulersche Approximation) den
Punkt w(h) mit x=h=0.001, [mm] w_0(x)=0, w_1(x)=0, w_2(x)=0+h*3=0.003.
[/mm]
Und dann schrittweise immer so weiter. Hat man nach einer Anzahl k
Schritte einen Punkt mit x=k*h, [mm] w_0(x),w_1(x),w_2(x) [/mm] erreicht,
ist der folgende Punkt eben jener mit
[mm] x_{neu}=x+h [/mm] und [mm] w(x_{neu})=w(x)+h*w'(x).
[/mm]
Dies lässt sich leicht programmieren. Die Komponenten x und [mm] y=w_0(x)
[/mm]
ergeben dann die Koordinaten für den jeweils zu zeichnenden Punkt der
Lösungskurve y=y(x) in der x-y-Ebene.
Ich will das Ganze mal realisieren und bin selber gespannt, welche
Phantasiekurve ich mit dem Beispiel "erfunden" habe. Immerhin habe
ich die Differentialgleichung so gewählt, dass die Ableitung y''' an
beliebigen Stellen definiert sein sollte ...
LG
Nachtrag: Für den praktischen Versuch sollte man doch besser
ein Beispiel nehmen, das aus einer Anwendung stammt und Hand
und Fuss hat ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 So 29.03.2009 | | Autor: | Tobus |
> Nachtrag: Für den praktischen Versuch sollte man doch besser
> ein Beispiel nehmen, das aus einer Anwendung stammt und Hand
> und Fuss hat ...
Vielen Dank, ich habe nun gesehen wie das systematische Vorgehen ist, ich denke ich kann das nun auch auf andere Beispiele übertragen.
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