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| Aufgabe | Show that
[mm] $arcsin(x)+arcsin(y)=C_1$
[/mm]
and
[mm] $x*\wurzel{1-y^2}+y*\wurzel{1-x^2}=C_2$
[/mm]
are general solutions of
[mm] $\wurzel{1-y^2}\;dx+\wurzel{1-x^2}\;dy=0$.
[/mm]
Can one of these solutions be obtained from the other? |
Hallo,
zu zeigen, dass die erste Lösung zur DGL gehört geht:
[mm] $arcsin(x)+arcsin(y)+C_1=0$
[/mm]
[mm] $\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}+\bruch{y'}{\wurzel{1-y^2}}=0$
[/mm]
[mm] $\wurzel{1-y^2}\;dx+\wurzel{1-x^2}\;dy=0$
[/mm]
Aber die zweite Lösung?
[mm] $F(x,y)=x*\wurzel{1-y^2}+y*\wurzel{1-x^2}-C_2=0$
[/mm]
[mm] $dF=\left(\wurzel{1-y^2}+\bruch{-xy}{\wurzel{1-x^2}} \right)dx+\left(\wurzel{1-x^2}+\bruch{-xy}{\wurzel{1-y^2}} \right)dy=0$
[/mm]
Die Brüche müssten ja = Null sein(?).
Abgesehen davon wüßte ich auch nicht, wie man auf diese Lösung kommt.
Vielen Dank für eine Antwort,
Martinius
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Hallo Martinius,
> Show that
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> [mm]arcsin(x)+arcsin(y)=C_1[/mm]
>
> and
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> [mm]x*\wurzel{1-y^2}+y*\wurzel{1-x^2}=C_2[/mm]
>
> are general solutions of
>
> [mm]\wurzel{1-y^2}\;dx+\wurzel{1-x^2}\;dy=0[/mm].
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> Can one of these solutions be obtained from the other?
>
>
> Hallo,
>
> zu zeigen, dass die erste Lösung zur DGL gehört geht:
>
> [mm]arcsin(x)+arcsin(y)+C_1=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}+\bruch{y'}{\wurzel{1-y^2}}=0[/mm]
>
> [mm]\wurzel{1-y^2}\;dx+\wurzel{1-x^2}\;dy=0[/mm]
>
>
> Aber die zweite Lösung?
>
> [mm]F(x,y)=x*\wurzel{1-y^2}+y*\wurzel[1-x^2}-C_2=0[/mm]
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> [mm]dF=\left(\wurzel{1-y^2}+\bruch{-xy}{\wurzel{1-x^2}} \right)dx+\left(\wurzel{1-x^2}+\bruch{-xy}{\wurzel{1-y^2}} \right)dy=0[/mm]
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> Die Brüche müssten ja = Null sein(?).
Nun, erinnere Dich, daß [mm]y=y\left(x\right)[/mm] ist.
Und dann gilt ja noch:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}+\bruch{y'}{\wurzel{1-y^2}}=0[/mm]
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> Abgesehen davon wüßte ich auch nicht, wie man auf diese
> Lösung kommt.
>
> Vielen Dank für eine Antwort,
>
> Martinius
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo MathePower,
besten Dank für den Hinweis! Ich wäre gar nicht auf die Idee gekommen die DGL hier einzusetzen.
LG, Martinius
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