DGL Typ: x kommt nicht vor < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Do 20.11.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Berechne m.H. der Substitution [mm] z=\bruch{y'}{2y} [/mm] alle Lösungen von [mm] yy''=(y')^2+4y^2 [/mm] |
Hallo,
wie genau kann ich denn die angegebene Substitution nutzen um eine lineare DGL 1. Ordnung zu erhalten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:32 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
leite z ab, dann siehst du es.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Do 20.11.2014 | | Autor: | rollroll |
[mm] z'=(y''*2y-2y')/(4y^2)
[/mm]
Allerdings weiß ich immer noch nicht weiter. ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Was ist denn $y''y-y'^2$ nach der DGL? (Du hast ein Quadrat vergessen.)
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 20.11.2014 | | Autor: | rollroll |
> Was ist denn $y''-y'^2 nach der DGL? (Du hast ein Quadrat
> vergessen.)
>
> Liebe Grüße
Das ist 4y.
Wo habe ich ein Quadrat vergessen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Do 20.11.2014 | | Autor: | andyv |
Z.B. hier. Es ist $ y''y-y'^2 [mm] =4y^2$. [/mm] Setze das in die Gleichung für $z'$ ein.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Do 20.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Warum kommt denn beim Ableiten von z ein [mm] (y')^2 [/mm] vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Fr 21.11.2014 | | Autor: | andyv |
Schau dir die Quotientenregel an. Ableitung des Neners mit Zähler multipliziert ergibt ein Term proportional zu $y'^2$.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Fr 21.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich habe z= [mm] \bruch{y'}{2y}
[/mm]
Dann ist doch mit Quotientenregel:
z'= [mm] \bruch{y''2y-y'*2}{4y^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Fr 21.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe z= [mm]\bruch{y'}{2y}[/mm]
>
> Dann ist doch mit Quotientenregel:
>
> z'= [mm]\bruch{y''2y-y'*2}{4y^2}[/mm]
Nein, sondern
z'= [mm]\bruch{y''2y-y'*2y'}{4y^2}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:42 Fr 21.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ah, danke!
Dann habe ich doch, wenn ich das in die gegebene DGL einsetze
z'=2 oder?
Also z(y)=2y+c
Damit: [mm] y'-2yc=4y^2 [/mm] und das ist eine Bernoulli-DGL, die ich nun lösen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Fr 21.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah, danke!
>
> Dann habe ich doch, wenn ich das in die gegebene DGL
> einsetze
>
> z'=2 oder?
Ja.
>
> Also z(y)=2y+c
Nein ! Sondern z(t)=2t+c. Wir hatten doch $ [mm] z(t)=\bruch{y'(t)}{2y(t)} [/mm] $
Damit bekommst Du die lineare DGL
$y'(t)=2(2t+c)y(t).$
FRED
>
> Damit: [mm]y'-2yc=4y^2[/mm] und das ist eine Bernoulli-DGL, die ich
> nun lösen muss?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Fr 21.11.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich erhalte:
[mm] y(t)=c_2 exp(2t^2+2tc_1 [/mm] )
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 21.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich erhalte:
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> [mm]y(t)=c_2 exp(2t^2+2tc_1[/mm] )
Das ist richtig.
FRED
>
> Danke für eure Hilfe!
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