DGL System: Bestimmung Orbite < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Di 06.11.2012 | | Autor: | Blaubart |
| Aufgabe | Gegeben sei folgendes DGL System:
[mm] y'_{1}=3*y_{1}*y_{2}^{2}
[/mm]
[mm] y'_{2}=y_{2}^{2}(y_{1}-y_{2})
[/mm]
a.) Bestimmen sie alle Orbiten, die aus einen einzelnen Punkt bestehen.
c.) Gibt es Lösungen [mm] (y_{1}(x),y_{2}(x)) [/mm] für die einer der Grenzwerte [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(y_{1}(x),y_{2}(x)) [/mm] oder [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}(y_{1}(x),y_{2}(x)) [/mm] existiert? |
Hi,
vorweg bei Aufgabe b.) wurde nach dem 1. Integral der DGL gefragt. Dort bin ich mir sicher die richtige Lösung zu haben: G(x)= [mm] 1/2*y_{1}^{2}-3*y_{1}y_{2}=c. [/mm] Bei d.) wurde nach einer beschreibung der Orbiten gefragt, dort habe ich einfach ein c und ein [mm] y_{1} [/mm] gewählt und dann geguckt was ich für [mm] y_{2} [/mm] raus bekomme. Daraus habe ich graphen gebastelt und gut war.
So jetzt zum eigentlich Problem:
Ich weiß nicht was ich bei a.) bzw. c.) machen muss. Bei a.) vermutete ich, dass ich eine Funktion gleich Null setze und daraus die andere "exakter" bestimmen kann.
Beispiel, aus y'_{1}=0 folgt [mm] y'_{2}=-y_{2}^{3} [/mm] usw. Ist das jetzt mein Orbit?
Oder setze ich [mm] y_{1}=0 [/mm] bzw. [mm] y_{2}=0 [/mm] und löse dann auf?
Das selbe bei c.). Naja ich gehe einfach davon aus, dass wenn ich a.) verstanden habe auch c.) machen kann 
Gruß
Blaubart
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ich dein G(x) differenziere und [mm] y_1' [/mm] und [mm] y_2' [/mm] einsetze kommt nicht 0 raus? wie kommst du auf G(x)
2. wenn ein Punkt rauskommen soll dann kannst du doch nicht einfach [mm] y_1=0 [/mm] setzen, dann ist dpch immer noch [mm] y_2 [/mm] eine funktion. ein punkt ist [mm] y_1=a, y_2=b [/mm] ; [mm] y_1'=0 y_2'=0
[/mm]
daraus finde die möglichen a,b
da stehen 2 gleiche lim, wohl x und nicht n gegen [mm] \infty, [/mm] aber was ist der Unterschied, steht ein Komma oder mal dazwischen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 06.11.2012 | | Autor: | Blaubart |
Danke für deine Antwort.
Den Tippfehler habe ich beim Limes übersehen. Da sollte natürlich ein x stehen und kein n. Die beiden Limesse(?) unterscheiden sich aber. Das eine geht gegen plus Unendlich, das andere gegen minus unendlich.
Zu deiner Antwort:
wenn ich [mm] y_{1}=a, y_{2}=b [/mm] setze und (so ich wie dich verstanden habe)
[mm] y_{1}'= [/mm] 0 dann komm ich auf den Punkt [mm] y_{2}'= a*b^{2} [/mm] bzw. mit
[mm] y_{2}'=0 [/mm] auf [mm] y_{1}'=9*b^{3}
[/mm]
Ist das jetzt jeweils der Orbit?
Zu meinen g(x). Dort habe ich erst ein integrierenden Faktor berechnet [mm] (1/y^2_{2}) [/mm] und dann erst das Potenzial.
Bei c.) ist mir noch aufgefallen, das man ja statt einer richtigen Funktion ja auch [mm] y_{2}=0 [/mm] und [mm] y_{1}= [/mm] const. wählen kann. Das DGL ist noch erfüllt und da keine x abhänigkeit vorhanden ist, ist mir die unendlichkeit auch egal.
Gruß
Blaubart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Di 06.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Punkt a,b als Lösung
[mm] 0=ab^2 [/mm] und [mm] 0=b^2*(a-b)
[/mm]
nur richtig galls b=0, a beliebig
hast du G durch ableiten und einsetzen der y' überprüft?
Gruss leduart
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