DGL Lösungsansatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo zusammen!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter bzw. ich finde den Anfang überhaupt nicht.
y'(x) = [mm] \cos [/mm] (x - y(x)-1)
Ich finde den Ansatz nicht. Ich muss das ganze ja irgendwie aufdrösseln, damit ich y(x) alleine stehen habe. Wollte mit arccos arbeiten, aber dabei kam ich auch nicht weiter, weil ich dann ja auf der linken Seite den
arccos stehen habe und dann weiß ich auch nicht weiter.
Ich brauche also bitte einen Tip wie man das Ganze trennen kann.
Danke schonmal. :)
|
|
| |
|
Hallo Teufelchen6,
> Hallo zusammen!
>
> Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter bzw. ich finde
> den Anfang überhaupt nicht.
>
> y'(x) = [mm]\cos[/mm] (x - y(x)-1)
>
> Ich finde den Ansatz nicht. Ich muss das ganze ja irgendwie
> aufdrösseln, damit ich y(x) alleine stehen habe. Wollte
> mit arccos arbeiten, aber dabei kam ich auch nicht weiter,
> weil ich dann ja auf der linken Seite den
> arccos stehen habe und dann weiß ich auch nicht weiter.
> Ich brauche also bitte einen Tip wie man das Ganze trennen
> kann.
Substituiere [mm]u=x-y(x)-1[/mm]
>
> Danke schonmal. :)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Ich stehe schon wieder auf dem Schlauch. :(
Wenn ich z:= x-y(x)-1 substituiere, dann ist ja z' = 1-y'(x) und das ist wegen der Substition z' = 1-cos(z) und jetzt bin ich wieder überfragt.
Was kann ich denn jetzt machen. Nur den homogenen Teil lösen macht keinen Sinn und direkt durch die rechte Seite teilen bringt Ergebnisse, die mich nicht weiterbringen.
|
|
|
| |
|
Hallo Teufelchen,
> Ich stehe schon wieder auf dem Schlauch. :(
>
> Wenn ich z:= x-y(x)-1 substituiere, dann ist ja z' =
> 1-y'(x) und das ist wegen der Substition z' = 1-cos(z) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und
> jetzt bin ich wieder überfragt.
>
> Was kann ich denn jetzt machen. Nur den homogenen Teil
> lösen macht keinen Sinn und direkt durch die rechte Seite
> teilen bringt Ergebnisse, die mich nicht weiterbringen.
Doch, doch.
Dann ist mit beidseitiger Integration zu lösen:
[mm] $\int{\frac{1}{1-\cos(z)} \ dz} [/mm] \ = \ [mm] \int{1 \ dx}$
[/mm]
Für das Integral linkerhand nutze [mm] $z=\frac{z}{2}+\frac{z}{2}$, [/mm] das Additionstheorem für den Cosinus und den trigonometrischen Pythagoras ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke! :)
Also ich habe dann ist
cos (z) = cos [mm] (\bruch{z}{2} [/mm] + [mm] \bruch{z}{2})
[/mm]
das wiederrum ist nah dem Additionstheorem
[mm] cos(\bruch{z}{2})*cos(\bruch{z}{2}) [/mm] + [mm] sin(\bruch{z}{2})*sin(\bruch{z}{2}) [/mm] = [mm] cos^{2}(\bruch{z}{2}) [/mm] + [mm] sin^{2}(\bruch{z}{2})
[/mm]
das ist dann nach dem trigonometrischem Pythagoras
= 1
dann ist aber [mm] \bruch{z'}{1-1} [/mm] = 0, das geht aber doch nicht. Also habe ich irgendwo einen Fehler. Aber was mache ich falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Danke! :)
>
> Also ich habe dann ist
>
> cos (z) = cos [mm](\bruch{z}{2}[/mm] + [mm]\bruch{z}{2})[/mm]
>
> das wiederrum ist nah dem Additionstheorem
>
> [mm]cos(\bruch{z}{2})*cos(\bruch{z}{2})[/mm] + [mm]sin(\bruch{z}{2})*sin(\bruch{z}{2})[/mm]
Nein, da muss ein [mm] $\red{-}$ [/mm] dazwischen!
> = [mm]cos^{2}(\bruch{z}{2})[/mm] + [mm]sin^{2}(\bruch{z}{2})[/mm]
>
> das ist dann nach dem trigonometrischem Pythagoras
> = 1
Ersetze die 1 im Zähler mit dem trig. Pythagoras
> dann ist aber [mm]\bruch{z'}{1-1}[/mm] = 0, das geht aber doch
> nicht. Also habe ich irgendwo einen Fehler. Aber was mache
> ich falsch?
Das Additionstzheorem dreht das VZ um ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Oja, das habe ich übersehen.
Also habe ich dann im Nenner [mm] 2*sin^2 (\bruch{z}{2})
[/mm]
Die 2 bringe ich auf die andere Seite, dann habe ich aufgeleitet.
da kommt dann raus - [mm] \bruch{4*sin(z)}{(sin^2(z) + cos^2(z) - 2cos(z)+1)} [/mm] = 2x + c
die linke Seite habe ich dann umgeformt zu
-2* [mm] \bruch{sin(z)}{(1-cos(z)} [/mm] = -2* cot [mm] (\bruch{z}{2})
[/mm]
nach z aufgelöst habe ich dann
z = 2* arccot [mm] (-x-\bruch{c}{2})
[/mm]
Stimmt das so in etwa?
|
|
|
| |
|
Hallo Teufelchen6,
> Oja, das habe ich übersehen.
>
> Also habe ich dann im Nenner [mm]2*sin^2 (\bruch{z}{2})[/mm]
>
> Die 2 bringe ich auf die andere Seite, dann habe ich
> aufgeleitet.
>
> da kommt dann raus - [mm]\bruch{4*sin(z)}{(sin^2(z) + cos^2(z) - 2cos(z)+1)}[/mm]
> = 2x + c
>
> die linke Seite habe ich dann umgeformt zu
>
> -2* [mm]\bruch{sin(z)}{(1-cos(z)}[/mm] = -2* cot [mm](\bruch{z}{2})[/mm]
>
> nach z aufgelöst habe ich dann
>
> z = 2* arccot [mm](-x-\bruch{c}{2})[/mm]
>
> Stimmt das so in etwa?
Ja, das stimmt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Sehr schön, vielen vielen Dank!
|
|
|
|
