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| Aufgabe | Löse mit Substitution:
[mm] $x^2-y^2+2xyy' [/mm] = 0$ |
Mein Lösungsweg:
$y' = [mm] \bruch{y^2-x^2}{2xy} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [\bruch{y}{x} [/mm] - [mm] \bruch{x}{y}] [/mm] $
Substitution $ u = [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
und in folgende Form eingesetzt: $ u' = [mm] \bruch{f(u) - u}{x} [/mm] $
ergibt bei mir: $u' = [mm] \bruch{-(xu^2+1)}{2ux} [/mm] $
Lösen mit Trennen der Variablen:
$-2 [mm] \integral{\bruch{u}{u^2+1} dx} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x} dx}$
[/mm]
gibt: [mm] $-ln|u^2+1| [/mm] + [mm] C_1 [/mm] = ln|x| + [mm] C_2 [/mm] $
[mm] $C_3 [/mm] = [mm] C_2 [/mm] - [mm] C_1$ [/mm] folgt: [mm] $-ln|u^2+1| [/mm] = ln|x| + [mm] C_3 [/mm] $
Auf beiden Seiten mit "e" erweitert
$ [mm] \bruch{1}{u^2+1} [/mm] = x * [mm] e^{C_3} [/mm] $
mit [mm] $C_4 [/mm] = [mm] e^{C_3}$ [/mm] und umgestellt ergibt sich:
$ [mm] \bruch{1}{C_4 * x} [/mm] = [mm] u^2 [/mm] + 1 $
Resubstitution:
$ [mm] \bruch{1}{C_4 * x} [/mm] = [mm] \bruch{y^2}{x^2} [/mm] + 1 $
umgestellt:
$ [mm] \bruch{1}{C_4 * x} [/mm] -1 = [mm] \bruch{y^2}{x^2} [/mm] $
$ [mm] y^2 [/mm] = [mm] \bruch{x}{C_4 } -x^2 [/mm] $
und das haut irgendwie nicht "ganz" hin.
Kann mir bitte jemand nen Fehlersuchtipp geben?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Sa 03.06.2006 | | Autor: | riwe |
bis hierher stimmt es
[mm] -ln(u^{2}+1)=lnx +c[/mm]
das ergibt nun aber
C = [mm] x(u^{2}+1) [/mm] und
[mm] y=\sqrt{Cx-x^{2}}
[/mm]
und damit liegst du wieder richtig, denke ich
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Hm ok, danke.
Das ist ja im Prinzip meine Lösung nur bei dir heißt C was bei mir [mm] \bruch{1}{C_4}.
[/mm]
Ich hab mein Problem gefunden.
Ich hatte mich vertan und meine Lösung auf dem Blatt war $y = [mm] \sqrt{\bruch{1}{C_4} - x^2} [/mm] $ und hab das x vergessen.
Darum war das ganze wohl falsch.
Denn jetzt stimmt alles sowohl mit der Lösung als auch mit der selber ausprobierten Lösung überein.
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