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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Sa 14.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi, ich verstehe eine Aufgabe nicht ganz und hoffe, dass mir jemand weiterhelfen kann.
Es geht um die Gleichung [mm] $y'(x)=xy(x)^2$.
[/mm]
i) Zu bestimmten ist für jedes Paar eine Umgebung(offene Intervallumgebung) von [mm] x_0 [/mm] erklärte Lösung y=f(x) mit [mm] f(x_0)=y_0.
[/mm]
So ganz verstehe ich nicht die Aufgabe, aber ich rechne mal drauf los.
[mm] y'(x)=xy(x)^2 \gdw \bruch{dy}{y^2}=dx*x\Rightarrow \integral_{y_0}^{y}{\bruch{dy}{y^2}}=\integral_{x_0}^{x}{xdx}\gdw -\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}+C_1
[/mm]
Nun ist nach "Paaren" gesucht, ich nehme an, dass es sich um [mm] (x_0,y_0)\in\IR^2 [/mm] handelt, aber ich weiß nicht genau, wie ich diese bestimmen soll..
Meine Überlegung wäre zunächst y(x) auszuformulieren, etwa so :
[mm] -\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}+C_1 \gdw \bruch{1}{y}-\bruch{1}{y_0}=-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}-C_1 \gdw \bruch{1}{y}=-\bruch{x^2}{x}+\bruch{x_0^2}{2}-C_1+\bruch{1}{y_0} \gdw [/mm] y = [mm] -\bruch{2}{x^2}+\bruch{2}{x_0^2}-\bruch{1}{C_1} [/mm] und mit [mm] §C:=\bruch{2}{x_0^2}-\bruch{1}{C_1}$ [/mm] folgt [mm] y(x)=-\bruch{2}{x^2}+C. [/mm] Die Probe stimmt auch soweit, aber was soll ich für eine Intervallumgebung angeben ? Es ist klar, dass der Definitionsbereich der Funktion die Null ausschließt, aber sonst ?
ii) Ich soll das maximale offene Intervall aus dem die Lösung f erklärt ist beschreiben.
Diese Aufgabe hängt wohl sehr mit i) zusammen.. hier komme ich leider garnicht weiter.
Danke im Vorraus !
Gruß
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Hallo DM08,
> Hi, ich verstehe eine Aufgabe nicht ganz und hoffe, dass
> mir jemand weiterhelfen kann.
>
> Es geht um die Gleichung [mm]y'(x)=xy(x)^2[/mm].
>
> i) Zu bestimmten ist für jedes Paar eine Umgebung(offene
> Intervallumgebung) von [mm]x_0[/mm] erklärte Lösung y=f(x) mit
> [mm]f(x_0)=y_0.[/mm]
>
> So ganz verstehe ich nicht die Aufgabe, aber ich rechne mal
> drauf los.
>
> [mm]y'(x)=xy(x)^2 \gdw \bruch{dy}{y^2}=dx*x\Rightarrow \integral_{y_0}^{y}{\bruch{dy}{y^2}}=\integral_{x_0}^{x}{xdx}\gdw -\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}+C_1[/mm]
Die Konstante [mm]C_{1}[/mm] ist überflüssig,
da es sich hier um bestimmte Integrale handelt.
>
> Nun ist nach "Paaren" gesucht, ich nehme an, dass es sich
> um [mm](x_0,y_0)\in\IR^2[/mm] handelt, aber ich weiß nicht genau,
> wie ich diese bestimmen soll..
>
Nein, Paare sind nicht gesucht, sondern deren Umgebung.
> Meine Überlegung wäre zunächst y(x) auszuformulieren,
> etwa so :
>
> [mm]-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}+C_1 \gdw \bruch{1}{y}-\bruch{1}{y_0}=-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}-C_1 \gdw \bruch{1}{y}=-\bruch{x^2}{x}+\bruch{x_0^2}{2}-C_1+\bruch{1}{y_0} \gdw[/mm]
> y = [mm]-\bruch{2}{x^2}+\bruch{2}{x_0^2}-\bruch{1}{C_1}[/mm] und mit
> [mm]§C:=\bruch{2}{x_0^2}-\bruch{1}{C_1}$[/mm] folgt
> [mm]y(x)=-\bruch{2}{x^2}+C.[/mm] Die Probe stimmt auch soweit, aber
Das ist nicht die korrekte Lösung der DGL.
> was soll ich für eine Intervallumgebung angeben ? Es ist
> klar, dass der Definitionsbereich der Funktion die Null
> ausschließt, aber sonst ?
>
Der Definitionsbereich ist doch abhängig von der Konstanten C.
> ii) Ich soll das maximale offene Intervall aus dem die
> Lösung f erklärt ist beschreiben.
>
> Diese Aufgabe hängt wohl sehr mit i) zusammen.. hier komme
> ich leider garnicht weiter.
>
> Danke im Vorraus !
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 14.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
> [mm]y'(x)=xy(x)^2 \gdw \bruch{dy}{y^2}=dx*x\Rightarrow \integral_{y_0}^{y}{\bruch{dy}{y^2}}=\integral_{x_0}^{x}{xdx}\gdw -\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}+C_1[/mm]
> Die Konstante [mm]C_{1}[/mm] ist überflüssig,
> da es sich hier um bestimmte Integrale handelt.
Stimmt, blöder Fehler..
[mm] -\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2} \gdw \bruch{1}{y}=-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}-\bruch{1}{y_0} \gdw y=-\bruch{2}{x^2}+\bruch{2}{x_0^2}-y_0
[/mm]
>
> Nun ist nach "Paaren" gesucht, ich nehme an, dass es sich
> um [mm](x_0,y_0)\in\IR^2[/mm] handelt, aber ich weiß nicht genau,
> wie ich diese bestimmen soll..
>
> Nein, Paare sind nicht gesucht, sondern deren Umgebung.
Tut mir leid, aber ich weiß noch immer nicht genau wie ich hier vorgehen soll. Ich soll ja bei ii) dieses Intervall angeben..
[mm] y=-\bruch{2}{x^2}+\bruch{2}{x_0^2}-y_0 \gdw y=\bruch{-2x_0^2y_0+2x^2y_0-x^2x_0^2y_0^2}{x^2x_0^2y_0}=\bruch{2x^2-2x_0^2-x^2x_0^2}{x^2x_0^2}
[/mm]
Ich weiß nur nicht ob ich auf der falschen Spur bin, vorallem fehlt mir nun meine Konstante C.
Ich bin mir bewusst, dass ich Nullstellen ausrechnen könnte mit der QP-Formel oder auch kritische Punkte der Funktion, aber ich glaube, dass ich damit falsch liege. Wäre echt dankbar, wenn mir jemand Tipps geben könnte wie ich weiter vorgehen muss und vor allem warum.
Danke für jede Hilfe !
Gruß
Paaren
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Hallo,
> > [mm]y'(x)=xy(x)^2 \gdw \bruch{dy}{y^2}=dx*x\Rightarrow \integral_{y_0}^{y}{\bruch{dy}{y^2}}=\integral_{x_0}^{x}{xdx}\gdw -\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}+C_1[/mm]
>
>
> > Die Konstante [mm]C_{1}[/mm] ist überflüssig,
> > da es sich hier um bestimmte Integrale handelt.
>
> Stimmt, blöder Fehler..
>
> [mm]-\bruch{1}{y}+\bruch{1}{y_0}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2} \gdw \bruch{1}{y}=-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}-\bruch{1}{y_0} \gdw y=-\bruch{2}{x^2}+\bruch{2}{x_0^2}-y_0[/mm]
Das ist immer noch falsch!
Du kannst doch nicht einfach den Kehrwert summandenweise bilden!
[mm] $\frac{1}{x} [/mm] = a+b [mm] \not\Rightarrow [/mm] x = [mm] \frac{1}{a} [/mm] + [mm] \frac{1}{b}$
[/mm]
Ich komme auf:
[mm] $-\frac{1}{y} [/mm] + [mm] \frac{1}{y_0} [/mm] = [mm] \frac{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \frac{x_0^2}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] y(x) = [mm] \left( \frac{x_0^2}{2} + \frac{1}{y_0} - \frac{x^2}{2}\right)^{-1}$.
[/mm]
Für jedes Paar [mm] $(x_0, y_0)\in \IR^2$ [/mm] kann man also eine Lösung angeben, und zwar diese. In der Aufgabe ist nun nach einer Umgebung von [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gefragt, auf welchem diese Lösung existiert.
Die Existenz der Lösung "hört auf", wenn durch Null geteilt wird. Du musst also überlegen, für welches x
[mm] $\frac{x_0^2}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{y_0} [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] = 0$
gilt. Diese $x$ dürfen also in deiner offenen Intervall-Umgebung $U := [mm] (x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon, x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon)$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] dann nicht vorkommen, und so solltest du dann dein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ wählen. Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] darf von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] abhängen.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Hi,
> Ich komme auf:
> [mm] $-\frac{1}{y} [/mm] + [mm] \frac{1}{y_0} [/mm] = [mm] \frac{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \frac{x_0^2}{2}$ [/mm]
> [mm] $\Rightarrow [/mm] y(x) = [mm] \left( \frac{x_0^2}{2} + \frac{1}{y_0} - \frac{x^2}{2}\right)$.
[/mm]
Muss es nicht sein :
[mm] \frac{1}{y} [/mm] + [mm] \frac{1}{y_0} [/mm] = [mm] \frac{x^{2}}{2} [/mm] - [mm] \frac{x_0^2}{2} \gdw -\bruch{1}{y}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}-\bruch{1}{y_0} \gdw \bruch{1}{y}=-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0} \gdw 1=(-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0})y\gdw [/mm] y = [mm] \bruch{1}{-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0}}
[/mm]
Damit würde folgen, dass gilt [mm] y(x)=\bruch{2y_0}{-x^2y_0+x_0^2y_0+2}
[/mm]
Bevor ich nun weitermache, ist das nun richtig ?
Danke nochmal an Stephan =)
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Hallo,
sorry, ich schussel im Moment etwas.
das "hoch -1" habe ich aus Versehen nicht hingeschrieben 
Ist nun auch im vorherigen Post korrigiert.
> Hi,
>
> > Ich komme auf:
>
> > [mm]-\frac{1}{y} + \frac{1}{y_0} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x_0^2}{2}[/mm]
>
> > [mm]\Rightarrow y(x) = \left( \frac{x_0^2}{2} + \frac{1}{y_0} - \frac{x^2}{2}\right)[/mm].
>
> Muss es nicht sein :
>
> [mm]\frac{1}{y}[/mm] + [mm]\frac{1}{y_0}[/mm] = [mm]\frac{x^{2}}{2}[/mm] -
> [mm]\frac{x_0^2}{2} \gdw -\bruch{1}{y}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x_0^2}{2}-\bruch{1}{y_0} \gdw \bruch{1}{y}=-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0} \gdw 1=(-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0})y\gdw[/mm]
> y =
> [mm]\bruch{1}{-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0}}[/mm]
Ja, genau so muss es sein.
Grüße,
Stefan
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:11 So 15.04.2012 | | Autor: | DM08 |
Danke !
$y [mm] =\bruch{1}{-\bruch{x^2}{2}+\bruch{x_0^2}{2}+\bruch{1}{y_0}}=\bruch{2y_0}{-x^2y_0+x_0^2y_0+2}$
[/mm]
> Für jedes Paar [mm] $(x_0, y_0)\in \IR^2$ [/mm] kann man also eine Lösung angeben, und zwar diese.
Das verstehe ich nicht ganz. Ich suche doch jetzt nach einer Menge [mm] M:=\{(x_0,y_0)\in\IR^2: y(x) nicht def\}, [/mm] sodass ich diese Menge dann ausschließen kann.
> In der Aufgabe ist nun nach einer Umgebung von [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] gefragt, auf welchem diese Lösung existiert.
> Die Existenz der Lösung "hört auf", wenn durch Null geteilt wird. Du musst also überlegen, für welches x
> [mm] $\frac{x_0^2}{2} [/mm] + [mm] \frac{1}{y_0} [/mm] - [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] = 0$
Genau meine Überlegung von davor, aber ich muss doch nicht gucken, wann die Funktion Null wird, sondern wann der Nenner Null wird, also etwa so :
[mm] -x^2y_0+x_0^2y_0+2=0
[/mm]
Hier sind weiterhin [mm] §x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] reelle Werte (bis lang).
[mm] -x^2y_0+x_0^2y_0+2=0 \gdw x_0^2y_0+2=x^2y_0 \gdw x=\pm\sqrt{\bruch{x_0^2y_0+2}{y_0}}
[/mm]
Hier darf man nicht vergessen, dass diese x-Werte genau unsere nicht definierbaren Tupel [mm] (x_0,y_0)\in\IR^2 [/mm] sind. Also suchen wir im weiteren nach [mm] (x_0, y_0)\in\IR^2, [/mm] aber mit der Eigenschaft, dass diese dann nicht definiert sind für unsere Funktion.
Also ist x für [mm] y_0=0 [/mm] nicht definierbar. Sei also im weiterin [mm] y_0\not=0. [/mm] Nun muss außerdem gelten, dass [mm] \bruch{x_0^2y_0+2}{y_0}\ge0 [/mm] mit [mm] y_0\not=0.
[/mm]
[mm] \bruch{x_0^2y_0+2}{y_0}\ge0\gdw x_0^2+\bruch{2}{y_0}\ge0\gdw x_0\ge\sqrt{\bruch{-2}{y_0}}\Rightarrow x_0 [/mm] ist nur definiert, wenn [mm] y_0<0 [/mm] ist. das heißt nun, dass für für [mm] y_0<0 [/mm] ein [mm] x_0 [/mm] finden, sodass die Wurzel definierbar ist und wir ein x finden, wo gerade die Funktion nicht definiert ist (Puuuh irgendwie schwierig auszuformulieren). Auf der anderen Seite gilt dann (und hier bin ich mir unsicher) : [mm] x_0^2+\bruch{2}{y_0}\ge0 \gdw \bruch{2}{y_0}\ge-x_0^2\gdw 2\ge-x_0^2y_0 \gdw y_0>\bruch{-2}{x_0^2}.
[/mm]
Also, nochmal zusammengefasst :
[mm] y_0 [/mm] darf nicht 0 sein, sonst haben wir sofort ein Problem.
Wenn also [mm] y_0<0 [/mm] und [mm] y_0>-\bruch{2}{x_0^2}, [/mm] d.h. gilt [mm] y_0<-\bruch{2}{x_0^2}<0, [/mm] dann ist [mm] x=\pm\sqrt{\bruch{x_0^2y_0+2}{y_0}} [/mm] nicht definiert und wir erhalten auch im Nenner keine Nullstellen. Das heißt, dass wir für [mm] 0\ge y_0\ge -\bruch{2}{x_0^2} [/mm] in unserer Funktion durch Null teilen.
> Diese $x$ dürfen also in deiner offenen Intervall-Umgebung $U := [mm] (x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon, x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon)$ [/mm] von [mm] $x_0$ [/mm] dann nicht vorkommen, und so solltest du dann dein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ wählen. Das [mm] $\varepsilon$ [/mm] darf von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $y_0$ [/mm] abhängen.
Soo, ich werd mir das nun noch paar mal durchlesen, ich hoffe, dass das jemand versteht und mir noch paar Tipps geben kann.
Danke im Vorraus mal wieder =)
edit : Ich glaube ich sollte mir das mal alles aufs Papier schreiben, ich habe die Übersicht verloren... dennoch hoffe ich auch Tipps.
edit 2 : Man ist fertig, wenn man einfach die rechte Seite ableitet und die Probe macht.
Gruß
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