Cramer’sche Regel < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a)
Lösen Sie das Gleichungssystem
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & -1& 0\\ 4 & -1& -2 }x=\vektor{-16 \\ 8 \\ 24}
[/mm]
mithiulfe der Cramer`schen Regel.
b)
Bei Anwendung der Cramer`schen Regel für Gleichungssysteme mit n>3 Unbekannten, muss man die Determinanten mithilfe des Laplace`schen Entwicklungssatzes berechnen. Wie lange dauert die Rechnung für eine 100x100-Matrix mindestens, wenn man annimmt, dass [mm] 10^{11} [/mm] Operationen pro Sekunde ausgeführt werden können?
Es kann angenommen werden, dass Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division jeweils als eine Operation zählen. Außerdem reicht es, eine untere (unter Umständen etwas grobe) Abschätzung zu bestimmen, indem man Terme kleinerer Ordnung vernachlässigt.
Hinweis: Mit [mm]n!=n(n-1)*(n-2)...2*1[/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] wird als Fakultätsfunktion bezeichnet. |
a)
[mm] x_1=\bruch{det(A_1)}{det(A)}=\bruch{det\pmat{ -16 & 2 & 3\\ 8 & -1& 0\\ 24 & -1& -2 }}{det\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & -1& 0\\ 4 & -1& -2 }}=\bruch{48}{16}=3
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{det(A_2)}{det(A)}=\bruch{det\pmat{ 1 & -16 & 3\\ 2 & 8& 0\\ 4 & 24& -2 }}{det\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & -1& 0\\ 4 & -1& -2 }}=\bruch{-32}{16}=-2
[/mm]
[mm] x_3=\bruch{det(A_3)}{det(A)}=\bruch{det\pmat{ 1 & 2 & -16\\ 2 & -1& 8\\ 4 & -1&24 }}{det\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & -1& 0\\ 4 & -1& -2 }}=\bruch{-80}{16}=-5
[/mm]
stimmt die Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Di 17.05.2016 | | Autor: | chrisno |
Probe durch Einsetzen, Rechnen im Kopf: Ergebnis stimmt.
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Ich bin mir nicht sicher ob ich aufgabe b) richtig verstanden habe.
Was heißt hier "Gleichungssysteme mit n>3 Unbekannten"? heißt das, es gilt [mm] x\in\IR^n [/mm] bei der Gleichung A*x=b ?
Ich muss quasi die Anzahl der Operationen für eine Lösung:
[mm] x_i=\bruch{det(A_i)}{det(A)}
[/mm]
bestimmen und mit 100 multiplizieren. Dann habe ich die Gesamte Anzahl der Operationen. Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Mi 18.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin mir nicht sicher ob ich aufgabe b) richtig
> verstanden habe.
>
> Was heißt hier "Gleichungssysteme mit n>3 Unbekannten"?
> heißt das, es gilt [mm]x\in\IR^n[/mm] bei der Gleichung A*x=b ?
>
> Ich muss quasi die Anzahl der Operationen für eine
> Lösung:
>
> [mm]x_i=\bruch{det(A_i)}{det(A)}[/mm]
>
> bestimmen und mit 100 multiplizieren. Dann habe ich die
> Gesamte Anzahl der Operationen. Ist das richtig?
Ja
Fred
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Ich finde das ziemlich kompliziert.
Ich will die Anzahl der Operationen von der Determinante einer 100x100 Matrix bestimmen.
[mm] det(A_i)=det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1100}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2100}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{1001} & a_{1002} & \cdots & a_{100100}\\ \end{pmatrix} [/mm]
bei der Determiante von größer als 3x3 Matrizen soll laut aufgenstelllung der laplaceschen entwicklungssatz angewendet werden. Wenn ich den laplaceschen entwicklungssatz anwende dann gilt:
[mm] k_1*det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{199}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{299}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{991} & a_{992} & \cdots & a_{9999}\\ \end{pmatrix}+k_2*det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{199}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{299}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{991} & a_{992} & \cdots & a_{9999}\\ \end{pmatrix}+...+k_{100}*det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{199}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{299}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{991} & a_{992} & \cdots & a_{9999}\\ \end{pmatrix} [/mm]
Ich erhalte eine Summe von 100 Unterdeterminanten von 99x99 Matrizen. Wenn man die Faktoren [mm] k_i [/mm] mit i=1,2,...,100 jeweils als ein Operand zählt, dann habe eine Anzahl von 2*100 Operationen.
Wenn ich für eines dieser 99x99 Unterdeterminante wieder den laplaceschen entwicklungssatz anwende, dann erhalte ich 2*99 Operationen. Für alle 99 Unterdeterminanten macht das dann 2*99*99 Operationen.
Wie viele Unterdeterminante habe ich jetzt eigentlich?
Ich habe das gefühl ich gehe die Aufgabe total falsch an...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 19.05.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo für n=2 muss man insgesamt 1 Determinanten 2 Multipl. +1 Addition bzw Subtraktion = da die Unterdet. schon Zahlen sind bestimmen, also 3 Operationen bei n=3 muß man 3 2er Unterdeterminanten macht 3 *3 OP +3 Multiplikationen +3 Additionen.insgesamt also .. bei n=4
4 Unterdet. der Größe 3 wie lange die Dauern weisst du schon dazu 4 Mult und Additionen
So machst du weiter. bei 100 hast du 100 Udt der Größe 99
Also stell eine rekursive Formel für n mal n Matrices auf!
warum steht da wohl was n! ist?
Gruß leduart
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Ich finde keine Formel um die Anzahl der Operationen widerzugegeben.
Für n=2 habe ich eine 2x2 Determinante. Das ergibt 3 Operationen.
Für n=3 habe ich drei 2x2 Unterdeterminanten. Das macht 3*3OP+3Multiplikationen+3 Additionen, also ingesamt 15 Operationen.
Für n=4 habe ichg vier 3x3 Unterdeterminanten. Das macht 4*15OP+4Multiplikationen+4Additionen, also ingesamt 68 Operationen.
Für n=5 habe ich fünf 3x3 Unterdeterminanten. Das macht 5*68OP+5Multiplikationen+5Additionen, also ingesamt 350 Operationen.
Aus diesen Informationen sollte es möglich sein eine Formel herzuleiten. Wahrscheinlich mit der Fakultätsfunktion n!
Aber ich kriege das nicht hin. Kann jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich finde keine Formel um die Anzahl der Operationen
> widerzugegeben.
>
> Für n=2 habe ich eine 2x2 Determinante. Das ergibt 3
> Operationen.
Das stimmt doch nicht ! Wie kommst Du drauf ?
FRED
>
> Für n=3 habe ich drei 2x2 Unterdeterminanten. Das macht
> 3*3OP+3Multiplikationen+3 Additionen, also ingesamt 15
> Operationen.
>
> Für n=4 habe ichg vier 3x3 Unterdeterminanten. Das macht
> 4*15OP+4Multiplikationen+4Additionen, also ingesamt 68
> Operationen.
>
> Für n=5 habe ich fünf 3x3 Unterdeterminanten. Das macht
> 5*68OP+5Multiplikationen+5Additionen, also ingesamt 350
> Operationen.
>
> Aus diesen Informationen sollte es möglich sein eine
> Formel herzuleiten. Wahrscheinlich mit der
> Fakultätsfunktion n!
> Aber ich kriege das nicht hin. Kann jemand helfen?
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> Das stimmt doch nicht ! Wie kommst Du drauf ?
[mm] det\pmat{ a & b\\ c& d }=a*d-c*d
[/mm]
2Multiplikationen + 1 Subtrahktion = 3 operationen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
>
> > Das stimmt doch nicht ! Wie kommst Du drauf ?
>
> [mm]det\pmat{ a & b\\ c& d }=a*d-c*d[/mm]
Es lautet [mm]det\pmat{ a & b\\ c& d }=a*d-c*b[/mm]
>
> 2Multiplikationen + 1 Subtrahktion = 3 operationen
Du musst berechnen (bei 2x2):
[mm] x_1=\bruch{det A_1}{det A}
[/mm]
und
[mm] x_2=\bruch{det A_2}{det A}
[/mm]
Für jede Determinante sind das 3 Operationen, zusammen also schon mal 9 Operationen. Dann hast Du noch 2 Divisionen. Damit komme ich auf 11 Operationen.
FRED
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Meine Idee war herauszufinden wie viele Operationen die Determinante einer 100x100 Matrix hat. Dann kann ich die Anzahl der Operationen der Lösungen:
[mm] x_i=\bruch{det A_i}{det A} [/mm] mit [mm]i=1,2,...,n [/mm] und [mm] A_i,A\in\IR^{n\times{n}}
[/mm]
einfach bestimmen. Ich würde gerne bei meinen Ansatz bleiben. Also für
Für n=2 gibt es 3 Operationen.
Für n=3 gibt es 15 Operationen.
Für n=4 gibt es 68 Operationen.
Für n=5 gibt 350 Operationen.
Diese oben genannten Operationen sind die Anzahl der Operationen für die Determinante einer [mm] n\times{n} [/mm] Matrix. Kann man aus diesen Informationen eine Formel herleiten, damit ich die Anzahl der Operationen für n=100 bestimmen kann? Wenn ja, wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Di 24.05.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi!
Du hast es ja weiter oben schon wörtlich beschrieben also warum nutzt du dies nicht für eine rekursive Formel?
Für eine n [mm] \times [/mm] n Determinante musst du n mal n-1 [mm] \times [/mm] n-1 Determinanten berechnen und dann n-additionen und n-multiplikationen Ausführen!
Finde du nun eine Formel um dies zu berechnen!
>
> Für n=2 gibt es 3 Operationen.
>
> Für n=3 gibt es 15 Operationen.
>
> Für n=4 gibt es 68 Operationen.
>
> Für n=5 gibt 350 Operationen.
>
> Diese oben genannten Operationen sind die Anzahl der
> Operationen für die Determinante einer [mm]n\times{n}[/mm] Matrix.
> Kann man aus diesen Informationen eine Formel herleiten,
> damit ich die Anzahl der Operationen für n=100 bestimmen
> kann? Wenn ja, wie?
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Hallo
> Du hast es ja weiter oben schon wörtlich beschrieben also warum nutzt du dies nicht für eine rekursive Formel? Für eine n [mm]\times[/mm] n Determinante musst du n mal n-1 [mm]\times[/mm] n-1 Determinanten berechnen und dann n-additionen und n-multiplikationen Ausführen! Finde du nun eine Formel um dies zu berechnen!
Ich weiß ja nicht wie ich hier eine geeignete Formel herleiten soll. Mein Ansatz wäre. Sei x die Anzahl der Operationen für die Determinante eine Matrix [mm] A\in\IR^{n\times{n}}, [/mm] dann gilt:
[mm] x=n*a+2*n [/mm]
Dabei ist a die Anzahl der Operationen für die n-1 [mm]\times[/mm] n-1 Determinanten, aber ich weiß nicht wie ich diese Anzahl mathematisch wiedergegeben soll.
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Ich verstehe nicht wieso meine Werte faslch sind bzw. wie du auf deine Werte kommst. Ich habe ja begründet wie ich auf die Anzahl der Operationen gekommen bin:
Für n=2 habe ich eine 2x2 Determinante. Das ergibt 3 Operationen.
Für n=3 habe ich drei 2x2 Unterdeterminanten. Das macht 3*3OP+3Multiplikationen+3 Additionen, also ingesamt 15 Operationen.
Für n=4 habe ichg vier 3x3 Unterdeterminanten. Das macht 4*15OP+4Multiplikationen+4Additionen, also ingesamt 68 Operationen.
Für n=5 habe ich fünf 3x3 Unterdeterminanten. Das macht 5*68OP+5Multiplikationen+5Additionen, also ingesamt 350 Operationen.
Was genauist hier falsch?
>
> Ich komme auf andere Zahlenwerte:
>
> 3, 14, 63, 324
>
> Diesen Folgenanfang habe ich dann genau so in Google
> eingegeben.
>
> Probier das auch einmal aus. Du wirst erstaunt sein !
ich finde folgende Formel: a(n) = n*(a(n-1)+2)-1
aber ich weiß nicht was a in der Gleichung sein soll
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Di 24.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe nicht wieso meine Werte faslch sind bzw. wie
> du auf deine Werte kommst. Ich habe ja begründet wie ich
> auf die Anzahl der Operationen gekommen bin:
>
> Für n=2 habe ich eine 2x2 Determinante. Das ergibt 3
> Operationen.
>
> Für n=3 habe ich drei 2x2 Unterdeterminanten. Das macht
> 3*3OP+3Multiplikationen+3 Additionen, also ingesamt 15
> Operationen.
>
> Für n=4 habe ichg vier 3x3 Unterdeterminanten. Das macht
> 4*15OP+4Multiplikationen+4Additionen, also ingesamt 68
> Operationen.
>
> Für n=5 habe ich fünf 3x3 Unterdeterminanten. Das macht
> 5*68OP+5Multiplikationen+5Additionen, also ingesamt 350
> Operationen.
>
> Was genauist hier falsch?
das hat Al Dir doch gesagt: wenn Du n Zahlen addiert, sind das nur n-1 Addition en
fred
>
>
> >
> > Ich komme auf andere Zahlenwerte:
> >
> > 3, 14, 63, 324
> >
> > Diesen Folgenanfang habe ich dann genau so in Google
> > eingegeben.
> >
> > Probier das auch einmal aus. Du wirst erstaunt sein !
>
> ich finde folgende Formel: a(n) = n*(a(n-1)+2)-1
>
> aber ich weiß nicht was a in der Gleichung sein soll
>
>
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ok jetzt brauche ich eine Formel für die Zahlenfolge:
3, 14, 63, 324
Im ![[]](/images/popup.gif) Internet finde ich die folgende Formel:
[mm] a(n) = n*(a(n-1)+2)-1[/mm]
Ich weiß hierbei nicht was a sein soll und wie die Formel hergeleitet wurde. kann mir das jemand erklären?
Wenn ich die Anzahl der Operationen für n=100 bestimmen will, was setze ich in der Gleichung für a ein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Di 24.05.2016 | | Autor: | Stala |
Das ist eine rekursive Formel...
Du setzt in den rechten Teil nicht ein $a$ ein, sondern den Wert $a(n-1) $ also, am Beispiel:
Du weißt, dass du für $n= 2$ 3 Operationen brauchst,
a(2) = 3
Dann folgt mit der rekursiven Formel für $n=3$
$a(3) = 3 * (a(3-1) + 2) -1 = 3*(a(2) + 2) -1 = 3*(3+2)-1 = 14
Für n = 4 folgt dann:
$a(4) = 4*(a(3) + 2 ) -1 = 4*(14 + 2) - 1 = 63 $
usw.
Beweisen kannst du das am besten mittels Induktion
VG
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aber dann dauert es ja ewig bis ich die Anzahl der Operationen für n=100 bestimmt habe, weil ich erstma die Operationen für n<100 bestimmen muss. ich muss ja quasi bei n=1 anfangen.
Ich habe das gefühl das ich die Aufgabe total falsch angehe. Das sollte eigentlich eine kurze aufgabe sein. Wie kann man die aufgabe einfacher lösen?
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Hallo, geht doch mit Excel ganz schnell
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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ich kenne mich mit excel nicht so gut aus. für n=100 spuckt excel foglende Zahl aus:
2,5369E+158
Was ist das für eine Zahl? Wofür steht das E+158?
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Hallo, Stichwort "Zehnerpotenz", [mm] 2,5369*10^1^5^8 [/mm] Steffi
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Hallo,
Somit ergibt sich für die Determinante einer 100x100 Matrix eine Anzahl von $ [mm] 2,5369\cdot{}10^1^5^8 [/mm] $Operationen. Für
[mm] x_i=\bruch{detA_1}{detA} [/mm] mit i=1,2,...,100 und [mm] A_1,A\in\IR^{100\times{100}}
[/mm]
ergibt sich im Zähler und Nenner jeweils [mm] 2,5369\cdot{}10^1^5^8 [/mm] Operationen. Und weil Zähler mit dem Nenner dividiert wird, muss ein Operator dazuaddiert werden. Das ergibt
[mm] (2*2,5369\cdot{}10^1^5^8+1) [/mm] Operationen für eine Lösung. Da es aber 100 Lösungen gibt, beträgt die Gesamtanzahl der Operationen:
[mm] 100*(2*2,5369\cdot{}10^1^5^8+1) [/mm] Operationen
[mm] =5,0738*10^{160} [/mm] Operationen
Da [mm] 10^{11} [/mm] Operationen Pro Sekunde durchgeführt werden können, beträgt die dauer t für die Lösung des Gleichungssystems
[mm] x_i=\bruch{detA_1}{detA} [/mm] mit i=1,2,...,n und [mm] A_1,A\in\IR^{n\times{n}}
[/mm]
für n=100 gleich
[mm] t=\bruch{5,0738*10^{160} Operationen}{10^{11}Operationen/Sekunde}=5,0738*10^{149} [/mm] Sekunden
Stimmt die Lösung?
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> Hallo,
>
> Somit ergibt sich für die Determinante einer 100x100
> Matrix eine Anzahl von [mm]2,5369\cdot{}10^1^5^8 [/mm]Operationen.
> Für
>
> [mm]x_i=\bruch{detA_1}{detA}[/mm] mit i=1,2,...,100 und
> [mm]A_1,A\in\IR^{100\times{100}}[/mm]
>
> ergibt sich im Zähler und Nenner jeweils
> [mm]2,5369\cdot{}10^1^5^8[/mm] Operationen.
Hallo
ich hatte doch schon in meiner ersten Antwort (vor 5 Tagen)
darauf hingewiesen, dass man die Hauptdeterminante nicht
100 mal, sondern nur einmal berechnen muss !
LG , Al-Chw.
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Okey jetzt muss es aber richtig sein:
Für die Determinante einer 100x100 Matrix ergibt sich eine Anzahl von $ [mm] 2,5369\cdot{}10^1^5^8 [/mm] $Operationen. Für
$ [mm] x_i=\bruch{detA_i}{detA} [/mm] $ mit i=1,2,...,100 und $ [mm] A_1,A\in\IR^{100\times{100}} [/mm] $
ergibt sich im Zähler und Nenner jeweils $ [mm] 2,5369\cdot{}10^1^5^8 [/mm] $ Operationen. Da für [mm] A_i [/mm] die Determinante von 100 verschiedenen Matrizen berechnet wird, muss man die Anzahl der Operationen zusätzlich mit 100 multiplizieren und weil der Zähler mit dem Nenner dividiert wird, muss auch jeweils immer 1 Operator addiert. Daraus ergibt sich:
[mm] 100*(2,5369\cdot{}10^1^5^8+1) Operationen+2,5369\cdot{}10^1^5^8 [/mm] Operationen = [mm] 2,562269*10^{160} [/mm] Operationen
Da [mm] 10^{11} [/mm] Operationen Pro Sekunde durchgeführt werden können, beträgt die dauer t für die Lösung des Gleichungssystems
[mm] x_i=\bruch{detA_1}{detA} [/mm] mit i=1,2,...,n und [mm] A_i,A\in\IR^{n\times{n}}
[/mm]
für n=100 gleich
[mm] t=\bruch{2,562269*10^{160} Operationen}{10^{11}Operationen/Sekunde}=2,562269*10^{149} [/mm] Sekunden
Stimmt die Lösung?
Wie kann man den rotmarkeirten satz besser formulieren?
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> Okey jetzt muss es aber richtig sein
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ja, ist es
Formulieren kann man das Ganze aber kürzer und klarer.
Etwa so:
Für die Determinante einer einzelnen 100x100 Matrix ergibt
sich eine Anzahl von [mm]N_{100}\ =\ 2,5369\cdot{}10^{158} [/mm] Operationen.
Für die Berechnung aller [mm] x_i [/mm] - Werte [mm]x_i=\bruch{det(A_i)}{det(A)}[/mm]
mit i=1,2,...,100 und [mm]A_i,A\in\IR^{100\times{100}}[/mm]
müssen insgesamt 101 derartige Matrizen berechnet werden,
nämlich det(A) und alle einhundert [mm] det(A_i). [/mm] Anschließend kommen
noch 100 Divisionen dazu. So kommt man insgesamt auf
$\ [mm] 101*N_{100}\ [/mm] +\ 100\ \ [mm] \approx\ 2,562*10^{160}$ [/mm] Operationen.
Da [mm]10^{11}[/mm] Operationen pro Sekunde durchgeführt werden
können, beträgt die Dauer t für die Lösung eines linearen
$\ 100 [mm] \times [/mm] 100$ - Gleichungssystems mittels der Cramerschen Regel
[mm]t=\bruch{2,562*10^{160} Operationen}{10^{11}Operationen/Sekunde}=2,562*10^{149}[/mm] Sekunden
(Ich würde das wenigstens auch noch in Jahre umrechnen.)
Wichtig ist am Ende, dass dieses Ergebnis hyper-astronomisch
ist. Die seit dem "Urknall" vergangene Zeit beträgt dagegen
ja lächerliche knappe 14 * [mm] 10^9 [/mm] Jahre.
Auch wenn es je möglich werden sollte, noch millionenfach
schnellere Computerprozessoren herzustellen als heute,
wird es absolut illusorisch bleiben, umfangreiche Gleichungs-
systeme mittels Cramer zu lösen.
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo,
Danke für die bessere formulieren. ich habe noch eine kleine Frage
> So kommt man insgesamt auf
>
> [mm]\ 101*N_{100}\ +\ 100\ \ \approx\ 2,562*10^{160}[/mm]
> Operationen.
Wieso benutzt du hier das [mm] \approx [/mm] zeichen? Die gesamtanzahl der Operationen muss doch genau [mm] 2,562*10^{160} [/mm] entsprechen. Also kann man hier das = Zeichen benutzen oder?
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> Hallo,
>
> Danke für die bessere Formulierung. Ich habe noch eine
> kleine Frage
>
> > So kommt man insgesamt auf
> >
> > [mm]\ 101*N_{100}\ +\ 100\ \ \approx\ 2,562*10^{160}[/mm]
> > Operationen.
>
> Wieso benutzt du hier das [mm]\approx[/mm] zeichen? Die gesamtanzahl
> der Operationen muss doch genau [mm]2,562*10^{160}[/mm] entsprechen.
> Also kann man hier das = Zeichen benutzen oder?
Der Wert [mm] 2.562*10^{160} [/mm] ist durch Runden entstanden.
Deshalb habe ich da das [mm] \approx [/mm] Symbol verwendet.
Da es bei der Aufgabe eigentlich vor allem um die riesige
Größenordnung der Zahl ging, könnte man durchaus noch
wesentlich "krasser" runden und es dabei bewenden lassen,
dass die Anzahl der notwendigen Operationen > [mm] 2*10^{160} [/mm] ist.
LG , Al-Chw.
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Guten Abend
da wo du im Internet schon die Rekursionsformel gefunden hast, findet man auch eine Liste mit exakten Werten für die a(n) für n von 1 bis 170. Daraus:
a(100) = 253686955560127297415270748212280220445147578566298142232775185987449253908386446518940485425152049793267407732328003493609513499849694176709764490323163991999
jetzt kannst du ja noch die Dezimalstellen nachzählen, um den Näherungswert von Steffi mit dem Zehnerexponenten 158 zu bestätigen.
LG , Al-Chwarizmi
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> ok jetzt brauche ich eine Formel für die Zahlenfolge:
>
> 3, 14, 63, 324
>
> Im Internet finde ich die
> folgende Formel:
>
> [mm]a(n) = n*(a(n-1)+2)-1[/mm]
>
> Ich weiß hierbei nicht was a sein soll und wie die Formel
> hergeleitet wurde. kann mir das jemand erklären?
>
> Wenn ich die Anzahl der Operationen für n=100 bestimmen
> will, was setze ich in der Gleichung für a ein?
Hallo,
ich nehme mal an, dass du die Rekursionsformel inzwischen
verstanden hast. Ich habe mir noch die Mühe genommen, eine
explizite Formel aufzustellen, bei der man nicht die ganze
Rekursion durchrechnen muss. Die Berechnung ist aber für
größere Werte von n immer noch umfangreich.
Die Formel lautet:
$\ [mm] a_n\ [/mm] =\ -\ 2\ [mm] +\, n\,!*\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k\,!}$
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:09 Mo 23.05.2016 | | Autor: | rabilein1 |
Ich kann mich ganz schwach erinnern, dass uns unser Lehrer in der 9. Klasse (!!!) was über Determinanten erzählt hat und wir deren Wert berechnen sollten.
Ich hatte zwar das Verfahren (also wie man das macht) so einigermaßen verstanden, aber bis heute nie verstanden, wofür das Ganze überhaupt gut sein soll.
Ginget denn ein Gleichungssystem mit z.B. 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten zu lösen auf die oben beschriebene Art schneller / einfacher (mal abgesehen davon, dass es so oder so eine langwierige Rechnerei ist)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mo 23.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich kann mich ganz schwach erinnern, dass uns unser Lehrer
> in der 9. Klasse (!!!) was über Determinanten erzählt hat
> und wir deren Wert berechnen sollten.
>
> Ich hatte zwar das Verfahren (also wie man das macht) so
> einigermaßen verstanden, aber bis heute nie verstanden,
> wofür das Ganze überhaupt gut sein soll.
>
> Ginget denn ein Gleichungssystem mit z.B. 6 Gleichungen mit
> 6 Unbekannten zu lösen auf die oben beschriebene Art
> schneller / einfacher (mal abgesehen davon, dass es so oder
> so eine langwierige Rechnerei ist)?
Aus Wiki:
Die Cramersche Regel oder Determinantenmethode ist eine mathematische Formel für die Lösung eines linearen Gleichungssystems. Sie ist bei der theoretischen Betrachtung linearer Gleichungssysteme hilfreich. Für die Berechnung einer Lösung ist der Rechenaufwand jedoch in der Regel zu hoch, da dabei verhältnismäßig viele Determinanten auftreten.
FRED
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> Ich bin mir nicht sicher ob ich aufgabe b) richtig
> verstanden habe.
>
> Was heißt hier "Gleichungssysteme mit n>3 Unbekannten"?
> heißt das, es gilt [mm]x\in\IR^n[/mm] bei der Gleichung A*x=b ?
>
> Ich muss quasi die Anzahl der Operationen für eine
> Lösung:
>
> [mm]x_i=\bruch{det(A_i)}{det(A)}[/mm]
>
> bestimmen und mit 100 multiplizieren. Dann habe ich die
> Gesamte Anzahl der Operationen. Ist das richtig?
Beachte aber, dass man det(A) natürlich nur einmal berechnen
muss und nicht für jedes i neu !!
LG , Al-Chw.
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