Covariante Abl. der Det < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 27.03.2010 | | Autor: | AData |
| Aufgabe | If we denote the value of the determinant [mm]det (g_{ab})[/mm]
by g then the cofactor of the element [mm]g_{ab}[/mm] in this determinant is [mm]gg_{ab}[/mm] (note that
g is not a scalar: changing coordinates changes the value of g at any point). It
follows that [mm]\partial_c g = gg^{ab} (\partial_c g_{ab})[/mm] |
Dies ist eine Formulierung aus dem Buch: "General Relativity" von Hobson (und anderen) (S. 66).
[mm]gg^{ab} (\partial_c g_{ab})[/mm] hier wird über a und b summiert.
Laut ![[]](/images/popup.gif) wiki ist
[mm]g= g_{aj}*gg_{aj}[/mm] Da ist keine summe über j, sondern nur über a.
So schließe ich darauß, dass wenn man ableitet folgendes erhält:
[mm]\partial_c g= \partial_c(g_{aj}*gg_{aj}) = (\partial_c g_{aj})*gg_{aj}+ g_{aj}*(\partial_c gg_{aj})[/mm]
Doch dies deckt sich überhaupt nicht mit dem Buch. Denn ich habe nur eine Summe und kann j frei wählen. Außerdem ist der hintere Summand nicht da.
Wie kommt das Buch auf [mm]\partial_c g = gg^{ab} (\partial_c g_{ab})[/mm]?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hoffe ich habe es nicht in ein allzu falsches Forum geschrieben....
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Hallo AData,
es gilt: [mm]g^{ij}(c_0)g_{jk}(c) = \delta^i_k[/mm] an der Stelle [mm]c = c_0[/mm]. Daraus folgt: [mm]g^{-1}(c_0)\partial_c g(c)) = g^{ab}(c_0)\partial_c g_{ab}(c)[/mm] an der Stelle [mm]c = c_0[/mm]. Da [mm]c_0[/mm] beliebig ist kann man es auch, wie im Buch, weglassen. Das Ergebnis in Matrizensprache: [mm]\partial_t det A(t) = Spur(A^{-1}(t)\partial_t A(t))detA(t)[/mm], wobei [mm]A[/mm] invertierbar ist. Bemerkung zum Titel: Es handelt sich hier um eine Ableitung der Determinante des metrischen Tensors, die z.B. bei der kovarianten Divergenz nützlich ist. In der Aufgabe wird aber keine kovariante Ableitung besprochen. Als Kofaktor würde ich im Unterschied zur Aufgabe den Ausdruck [mm]gg^{ba}[/mm] bezeichnen, dadurch ändert sich auch dein Ansatz.
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