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| Aufgabe | Beweisen Sie das Coulombsche Gesetz mit Hilfe des Gausschen Satzes. Nehmen Sie dazu eine punktförmige Ladungsquelle mit Ladung Q an, die ein kugelsymmetrisches Feld um die Ladung erzeugt.
Geben Sie als Antwort das ungelöste Integral des Gausschen Satzes an. |
Hallo,
ich hoffe dass Ihr mir helfen könnt. Denn ich bin mit meinem Latein am Ende.
Soweit bin ich schonmal, aber stimmt das auch? Oder hab ich das Ergebnis schon?
Ausgehend vom Gaußschen gesetz: div [mm] E=4\pi*q*\delta(x)
[/mm]
(Sorry, aber hier gibts kein Volumenintegral ;-( )
Bilde Volumenintegral über Kugel mit Radius r, die die Ladung einschliesst...
Int(Kugelvol){divE dV} = [mm] 4\pi*Int(Kugelvol){q*\delta(x)} [/mm] = [mm] 4\pi*q
[/mm]
Int(Kugelvol){divE dV} = Int(Oberfläche der Kugel){E dA}
(Gaußscher Integralsatz)
=> Int(Oberfläche der Kugel){E dA} = [mm] 4\pi*q
[/mm]
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte, das wäre wirklich sehr dringend.
Danke und Gruß
Mario
P.S.: Ich habe die Frage in keinem anderen Forum im Internet gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beweisen Sie das Coulombsche Gesetz mit Hilfe des Gausschen
> Satzes. Nehmen Sie dazu eine punktförmige Ladungsquelle mit
> Ladung Q an, die ein kugelsymmetrisches Feld um die Ladung
> erzeugt.
>
> Geben Sie als Antwort das ungelöste Integral des Gausschen
> Satzes an.
> Hallo,
>
> ich hoffe dass Ihr mir helfen könnt. Denn ich bin mit
> meinem Latein am Ende.
> Soweit bin ich schonmal, aber stimmt das auch? Oder hab
> ich das Ergebnis schon?
>
>
>
> Ausgehend vom Gaußschen gesetz: div [mm]E=4\pi*q*\delta(x)[/mm]
EDIT: mir file eben auf, dass dein Faktor [mm]4\pi[/mm] zuviel ist: [mm]\mathop{\mathrm{div}} E = q* \delta(\vec r)[/mm].
Außerdem ist steht da genau genommen [mm]\mathop{\mathrm{div}} D[/mm], was im Vakuum bis auf [mm]\varepsilon_0[/mm] keinen Unterschied macht.
> (Sorry, aber hier gibts kein Volumenintegral ;-( )
Dochdoch: [mm]\iiint[/mm]
>
>
> Bilde Volumenintegral über Kugel mit Radius r, die die
> Ladung einschliesst...
>
> Int(Kugelvol){divE dV} = [mm]4\pi*Int(Kugelvol){q*\delta(x)}[/mm] =
> [mm]4\pi*q[/mm]
>
> Int(Kugelvol){divE dV} = Int(Oberfläche der Kugel){E dA}
> (Gaußscher Integralsatz)
>
> => Int(Oberfläche der Kugel){E dA} = [mm]4\pi*q[/mm]
Jetzt nutzt du die Kugelsymmetrie: [mm]\vec E = \vec e_r * E(r)[/mm], das heisst [mm]\vec E[/mm] ist parallel zu [mm]\vec r[/mm]. Dann ist dein Oberflächenintegral für eine Kugel vom Radius R:
[mm]\iint \vec E * d\vec A = E(R) * 4\pi R^2[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
erst mal vielen Dank für die schnelle Hilfe! Aber ich habe da dann doch noch ein paar Fragen:
Ist der Faktor [mm] 4\pi [/mm] wirklich zuviel, und wie sieht es dann mit den Grenzen aus? Es handelt sich ja um Kugelkoordinaten, dann müsste die Lösung doch dann wie folgt aussehen:
[mm] \integral_{\mu=0}^{2\pi}\integral_{\nu=0}^{\pi}{\overrightarrow{E}*d\overrightarrow{A}}={E(r)*4\pi*r^2}
[/mm]
Kann mir irgendjemand dieses Ergebnis bestätigen?
Es wäre wirklich sehr sehr wichtig, dass dieses Ergebnis stimmt! Ich bin mir aber nicht sicher mit dem, was ich gerechnet habe ;-(
Vielen Dank schon mal für Eure Mühen!!!
Gruß
Mario
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Di 06.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> erst mal vielen Dank für die schnelle Hilfe! Aber ich habe
> da dann doch noch ein paar Fragen:
>
> Ist der Faktor [mm]4\pi[/mm] wirklich zuviel,
Ja, denn die vollständige Gleichung lautet:
[mm]\mathop{\mathrm{div}} \vec D = \rho[/mm].
Rechts steht die Ladungsdichte, die über das Volumen integriert, die gesamte Ladung q ergibt.
(Es steht dir natürlich frei, die Größen anders zu definieren. Aber das ist die übliche Definition.)
> und wie sieht es dann
> mit den Grenzen aus? Es handelt sich ja um
> Kugelkoordinaten, dann müsste die Lösung doch dann wie
> folgt aussehen:
Das kannst du zwar machen, brauchst du aber nicht.
Das Integral ist doch unabghängig von der Koordinatendarstellung. Du hast über eine Kugeloberfläche mit beliebigem Radius integriert. Der Betrag des Integranden hängt nur vom Radius ab, die Richtung steht jeweils senkrecht auf der Oberfläche. Daher ist:
[mm]\iint_{K_R} \vec E(R) \cdot d\vec A = |\vec E(R)| \iint_{K_R} dA = 4\pi R^2 E(R)[/mm],
weil die Oberfläche einer Kugel vom Radius R gerade [mm]4\pi R^2[/mm].
Diese Integral ist aber nach dem Gaußschen Satz gleich der Ladung, also konstant, woraus unmittelbar
[mm]|\vec E(R)| = \bruch{q}{4\pi R^2}[/mm]
folgt.
Viele Grüße
Rainer
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Vielen Dank,
bin jezt nochmal alles mit meinem Physikbuch durchgegangen. Jetzt hab ichs auch verstanden und das Ergebnis stimmt.
Da hast du mir wirklich geholfen! Danke!
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