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| Aufgabe | Berechnen Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{cos^{2}(2x)-1}{x^{2}} [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich hab nicht die geringste Ahnung, wie ich hier vorgehen soll.
Den Zähler konnte ich zu [mm] \bruch{1}{2}(1+cos(4x))-1 [/mm] umformen. Der Zähler ist also periodisch und negativ, hat also keinen Grenzwert. Was kann ich tun?
Gruß, Christoph
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Hallo Christoph!
Doch es gibt einen Grenzwert. Verwende hier die Beschränktheit der [mm] $\cos$-Funktion [/mm] bzw. $0 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \cos^2(z) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Peinlich, peinlich. Hab in meiner Frage Zähler und Nenner verwechselt... (ist korrigiert).
Also, AFAIK ist der Zähler doch eine periodische Funktion und hat deshalb keinen Grenzwert. Ich kann erkennen, dass die gesamte Funktion einen Grenzwert hat (0), weil der Zähler betragsmäßig nie größer wird als 1 und der Nenner gegen unendlich strebt. Oder mach ich hier gerade einen Denkfehler? Und gilt diese Ausführung jetzt schon als "Berechnung des Grenzwertes"?
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Hallo Palisaden-Honko,
das stimmt im Prinzip.
Sicher zeigen kannst Du "nur", dass [mm] 0\le \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{cos^{2}(2x)-1}{x^{2}} \le \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^{2}}=0
[/mm]
Dann hättest Du ein sauberes Ergebnis.
lg,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Di 20.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Palisaden-Honko,
>
> das stimmt im Prinzip.
>
> Sicher zeigen kannst Du "nur", dass [mm]0\le \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{cos^{2}(2x)-1}{x^{2}} \le \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^{2}}=0[/mm]
Vorsicht !
Es ist [mm] $cos^2(2x) [/mm] -1$ [mm] \le [/mm] 0 !!!!
Besser:
[mm] $|\bruch{cos^{2}(2x)-1}{x^{2}}| \le \bruch{2}{x^{2}} [/mm] $
FRED
>
> Dann hättest Du ein sauberes Ergebnis.
>
> lg,
> reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Di 20.01.2009 | | Autor: | reverend |
Stimmt. Ist viel besser.
Allerdings ist das Problem doch nicht arg, weil ja nicht behauptet wird, dass [mm] cos^2-1<0
[/mm]
Hier liegt der Cosinus doch im zu bestimmenden Limes und einer Ungleichungskette, aus der nur folgt, dass alle ihre Teile Null sind, auch der gesuchte Limes der Funktionsvorschrift mit dem Cosinus.
Oder denke ich gerade wieder verquer?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Mi 21.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt. Ist viel besser.
>
> Allerdings ist das Problem doch nicht arg, weil ja nicht
> behauptet wird, dass [mm]cos^2-1<0[/mm]
> Hier liegt der Cosinus doch im zu bestimmenden Limes und
> einer Ungleichungskette, aus der nur folgt, dass alle ihre
> Teile Null sind, auch der gesuchte Limes der
> Funktionsvorschrift mit dem Cosinus.
>
> Oder denke ich gerade wieder verquer?
Bei Deiner Schreibweise
"$ [mm] 0\le \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{cos^{2}(2x)-1}{x^{2}} \le \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^{2}}=0 [/mm] $"
wird schon vorausgesetzt, dass der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{cos^{2}(2x)-1}{x^{2}} [/mm] existiert !
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Mi 21.01.2009 | | Autor: | reverend |
Ja, aber den wollen wir doch bestimmen.
Wenn er existiert, muss er in diese Ungleichungskette passen, und deren Ränder zeigen dann, dass es sich um eine Gleichungskette handelt.
Ich sehe ja, warum Deine Schreib- bzw. Vorgehensweise das Problem gar nicht erst aufwirft, aber letztlich geht es doch um die Bestimmung des hier fraglichen Limes.
lg,
reverend
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