Cos(X) mit Taylorreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 So 13.07.2008 | | Autor: | oopepe |
| Aufgabe | | Berechnen Sie cos x für x = [mm] \bruch{\pi}{18} [/mm] bis auf einen Fehler F mit |F| < [mm] 10^{-5}. [/mm] |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Ich habe die Lösung vor mir liegen, verstehe aber den einen oder anderen Schritt nicht.
Ich habe folgendes:
Die Taylorreihe (bzw. MacLaurinsche Reihe) für cos x ist:
cos x = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\*x^{2n}
[/mm]
Ich soll den Cosinus für
x = [mm] \bruch{\pi}{18}
[/mm]
berechnen.
In der vor mir liegenden Lösung kommt dann dieses:
|cos x - [mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\*x^{2k}| [/mm] = [mm] |R_{2n}| \le \bruch{|x|^{2n+1}}{(n+1)!}<10^{-5}
[/mm]
Hierzu habe ich Fragen:
- Wo kommt die Formel für |cos x - [mm] \summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\*x^{2k}| [/mm] her? Ich nehme an, es soll die Def. vom Restglied als Differenz zwischen echter Fkt. und Näherung sein. In meiner Formel geht die Summe aber bis n und nicht bis n-1.
- Warum ist das gleich dem Restglied von 2n [mm] (R_{2n})?
[/mm]
- Der nächste Vergleich [mm] \le [/mm] ist wohl aus dem Restglied von Lagrange herzuleiten. Hier wurde cos (oder sin) weg gelassen, da es für die Abschätzung nicht wichtig (immer < 1 ) ist, oder?
Dann geht es bei meiner Lösung so weiter:
[mm] \Rightarrow (\bruch{\pi}{18}){2n+1} [/mm] < [mm] 10^{-5}
[/mm]
Meine Frage hier: Wo bleibt das (n+1)!? Warum kann man das einfach weg lassen?
[mm] \Rightarrow [/mm] n > 2.79
Wenigstens dieser Schritt ist mir soweit klar 
Damit kann man dann cos x mit n = 3 mit der gesuchten Genauigkeit berechnen.
Danke für jede Hilfe.
Grüße,
Pepe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Berechnen Sie cos x für x = [mm]\bruch{\pi}{18}[/mm] bis auf einen
> Fehler F mit |F| < [mm]10^{-5}.[/mm]
>
> Die Taylorreihe (bzw. MacLaurinsche Reihe) für cos x ist:
>
> cos x = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!}\*x^{2n}[/mm]
>
> Ich soll den Cosinus für
> x = [mm]\bruch{\pi}{18}[/mm]
> berechnen.
>
> In der vor mir liegenden Lösung kommt dann dieses:
>
> |cos x - [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\*x^{2k}|[/mm]
> = [mm]|R_{2n}| \le \bruch{|x|^{2n+1}}{(n+1)!}<10^{-5}[/mm]
>
> Hierzu habe ich Fragen:
> - Wo kommt die Formel für |cos x - [mm]\summe_{k=0}^{n-1}\bruch{(-1)^{k}}{(2k)!}\*x^{2k}|[/mm] her?
> Ich nehme an, es soll die Def. vom Restglied als Differenz
> zwischen echter Fkt. und Näherung sein. In meiner Formel
> geht die Summe aber bis n und nicht bis n-1.
das sollte wohl auch so sein !
> - Warum ist das gleich dem Restglied von 2n [mm](R_{2n})?[/mm]
wenn der Summationsindex z.B. bis n=3 geht, haben wir die
Glieder bis und mit [mm] -\bruch{x^6}{6!} [/mm] berücksichtigt; das Restglied
wäre dann also:
[mm] R_6=\integral_{0}^{x}{\bruch{(x-t)^n}{n!}f^{(7)}(t)\dt}
[/mm]
> - Der nächste Vergleich [mm]\le[/mm] ist wohl aus dem Restglied von
> Lagrange herzuleiten. Hier wurde cos (oder sin) weg
> gelassen, da es für die Abschätzung nicht wichtig (immer <
> 1 ) ist, oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann geht es bei meiner Lösung so weiter:
>
> [mm]\Rightarrow (\bruch{\pi}{18}){2n+1}[/mm] < [mm]10^{-5}[/mm]
das (2n+1) sollte wohl ein Exponent sein !
>
> Meine Frage hier: Wo bleibt das (n+1)!? Warum kann man das
> einfach weg lassen?
dies ist eine (möglicherweise krasse) Abschwächung der
Ungleichung - jedenfalls in die "erlaubte" Richtung
> [mm]\Rightarrow[/mm] n > 2.79
>
> Wenigstens dieser Schritt ist mir soweit klar
>
> Damit kann man dann cos x mit n = 3 mit der gesuchten
> Genauigkeit berechnen.
Effektiv genügt wirklich auch schon n=2:
cos(x)=0.9848078...
[mm] 1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}=0.9848078... [/mm] (Abweichung [mm] 4*10^{-8})
[/mm]
LG
|
|
|
|
