Chinesischer Restsatz Teil II < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:21 Di 14.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Ich habe nun in der Vorlesung einen weiteren Satz ( ohne besonderen Namen ) gefunden, der wohl so eine Verallgemeinerung des chin. Restsatzes für Ringe sein soll...
Direkt danach werden Beispiele bearbeitet, zu denen ich vorallem FRagen habe...
Satz :
R sei kommutativer Ring und [mm] \mathfrak{a}_1, ... , \mathfrak{a}_n [/mm] paarweise relativ prime Ideale.
Dann ist di von den Quotientenabbildungen ins Produkt induzierte Abbildung:
[mm] R \rightarrow R/ \mathfrak{a}_1 \times ... \times R/ \mathfrak{a}_n [/mm]
[mm] r \to ( \pi_1 (r), ... , \pi_n (r) ) [/mm]
surjektiv und hat [mm] \mathfrak{a}_1 \cdot ... \cdot \mathfrak{a}_n [/mm] als Kern.
[mm] \pi_i : R \to R/ \mathfrak{a}_i [/mm] , Quotientenhomomorphismus, d.h
(*) [mm] R/ \mathfrak{a}_1 \cdot ... \cdot \mathfrak{a}_n \simeq R/ \mathfrak{a}_1 \times ... \times R/ \mathfrak{a}_n [/mm]
( Frage: Ich sehe hier nicht den Zusammenhang zum chinesischen Restsatz und verstehe nicht warum (*) gilt. )
Bespiele :
1. R= [mm] \mathbb Z [/mm], [mm] \mathfrak{a}_1 = 2 \cdot \mathbb Z , \mathfrak{a}_2 = 3 \cdot \mathbb Z [/mm]
[mm] \mathbb Z / 6 \mathbb Z \simeq \mathbb Z / 2 \mathbb Z \times \mathbb Z / 3 \mathbb Z [/mm]
2. R= [mm] \mathbb Z [/mm], [mm] \mathfrak{a}_1 = ( 1 + 2i ) \cdot \mathbb Z \left[ i \right] , \mathfrak{a}_2 = (1 - 2i )\cdot \mathbb Z \left[ i \right] [/mm]
[mm] \mathfrak{a}_1 \cdot \mathfrak{a}_2 = 5 \cdot \mathbb Z \left[ i \right][/mm]
[mm] \mathbb Z \left[ i \right] / 5 \cdot \mathbb Z \left[ i \right] \simeq \mathbb Z \left[ i \right] / (1 + 2i ) \cdot \mathbb Z \left[ i \right] \times \mathbb Z \left[ i \right] / (1 - 2i ) \cdot \mathbb Z \left[ i \right] [/mm]
So, ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand diese beiden Beispiel erklären könnte....Ich denke, dass das eine Anwendung des obigen Satzes ist, aber warum man die Ideale so wählt und warum dieser Zusammenhang besteht...
Vielen Dank für die Mühe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 22.10.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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