Chinesischer Restsatz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme die Anzahl der Lösungen von P(x) [mm] \equiv [/mm] 0 mod 210 mit [mm] P(x)=7x^{3}+5x^{2}+3x [/mm] |
Wie muss ich an diese Aufgabenstellung herangehen?
Vielen Dank im Vorraus.
|
|
| |
|
Hallo Anna-Lena,
Du gibst dem ganzen ja schon gleich den richtigen Titel: chinesischer Restsatz. Um den geht es, aber nicht nur um den.
> Bestimme die Anzahl der Lösungen von P(x) [mm]\equiv[/mm] 0 mod 210
> mit [mm]P(x)=7x^{3}+5x^{2}+3x[/mm]
> Wie muss ich an diese Aufgabenstellung herangehen?
$210=2*3*5*7$.
Du musst die Aufgabe also erst einmal auf die vier Primmodule aufdröseln.
Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] gilt [mm] x^n\equiv x\bmod{2}
[/mm]
Also ist [mm] P(x)\equiv 7x+5x+3x\equiv 15x\equiv x\mod{2}
[/mm]
... und damit [mm] x\equiv 0\bmod{2}
[/mm]
Weiter: [mm] P(x)\equiv x^3+2x^2\equiv x^2(x+2)\bmod{3}
[/mm]
... und damit [mm] x\in\{0,1\} [/mm] in [mm] \IZ/3\IZ.
[/mm]
Das machst Du jetzt noch für die Module 5 und 7, dann kannst du Dir alle möglichen Kombinationen betrachten - per chinesischem Restsatz.
Grüße
reverend
> Vielen Dank im Vorraus.
|
|
|
|
