www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Stochastik" - Chebychev Ungleichung
Chebychev Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Chebychev Ungleichung: Vergleich der Ungleichungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:02 So 06.01.2013
Autor: zitronenmus

Aufgabe
Eine unfaire Münze fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1=3 auf Kopf und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2=3 auf Zahl. Bestimmen Sie obere Schranken für die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze von
n Würfen mehr als die Hälfte Mal Kopf zeigt; einmal mit Hilfe der Chebychev-Ungleichung und einmal
mit Hilfe der Chernov-Ungleichung.

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch. Ich kenne die Chebychev-Ungleichung und habe mir bis jetzt überlegt, dass meine Zufallsgröße X binomialverteilt ist.
Für Kopf ist die Wsl. 1/3, weswegen ich zu einem Erwartungswert von E[x] = 1/3n und einer Var[x]=2/9n komme. Ist das überhaupt die richtige Herangehensweise?
Nun stehe ich vor meinem Hauptproblem - dem Anwenden der Formel. Mehr als die Hälfte mal - heißt das, ich muss für mein t 51% wählen?

Danke im Vorraus für eure Hilfe!

        
Bezug
Chebychev Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 So 06.01.2013
Autor: ahnungsloser86


> Für Kopf ist die Wsl. 1/3, weswegen ich zu einem
> Erwartungswert von E[x] = 1/3n und einer Var[x]=2/9n komme.

Meinst du  E[x] = 1/(3*n) oder  E[x] = n*1/3?

Ja, zunächst sollte man sich überlegen was der Erwartunsgwert und was die Varianz ist.

Betrachtet man die Häufigkeit [mm] H_n=\summe_{i=1}^{n}X_i [/mm] mit der Zufallsvariable X(Kopf)=1 und X(Zahl)=0, dann ist [mm] H_n/n [/mm] die relative Häufigkeit und p=1/3 gerade deren Erwartungswert.  Die Varianz der relativen Häufigkeit ergibt p*(1-p)/n. Wenn nun die Münze bei mehr als n/2 Würfen Kopf zeigt bedeutet das dass die Relative Häufigkeit [mm] \ge [/mm] 1/2 ist.
Folglich [mm] |H_n/n- E[H_n/n]|=|H_n/n- 1/3|\ge [/mm] 1/6






Bezug
                
Bezug
Chebychev Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 07.01.2013
Autor: zitronenmus

Zuerst einmal DANKE für die Antwort!!

> Ja, zunächst sollte man sich überlegen was der
> Erwartunsgwert und was die Varianz ist.

Ich meinte (1/3)*n. Sind meine Überlegungen zu Erwartungswert und Varianz richtig?

> Betrachtet man die Häufigkeit [mm]H_n=\summe_{i=1}^{n}X_i[/mm] mit
> der Zufallsvariable X(Kopf)=1 und X(Zahl)=0, dann ist [mm]H_n/n[/mm]
> die relative Häufigkeit und p=1/3 gerade deren
> Erwartungswert.  Die Varianz der relativen Häufigkeit
> ergibt p*(1-p)/n.

Wieso muss man die relative Häufigkeit betrachten? Welche Rückschlüsse lässt diese zu?

Wenn nun die Münze bei mehr als n/2

> Würfen Kopf zeigt bedeutet das dass die Relative
> Häufigkeit [mm]\ge[/mm] 1/2 ist.
>  Folglich [mm]|H_n/n- E[H_n/n]|=|H_n/n- 1/3|\ge[/mm] 1/6

Das ging mir zu schnell. Wieso setzt du in die Formel jetzt die Häufigkeiten ein? Kann überhaupt ein konkreter Wert dadurch berechnet werden? Wie kommst du auf 1/6?



Bezug
                        
Bezug
Chebychev Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Mo 07.01.2013
Autor: ahnungsloser86


> Ich meinte (1/3)*n. Sind meine Überlegungen zu
> Erwartungswert und Varianz richtig?

Ja sind sie, wie luis52 schon geschrieben hat.

> Wieso muss man die relative Häufigkeit betrachten? Welche
> Rückschlüsse lässt diese zu?

Nein, das muss man nicht. Man kann auch analog mit der Häufigkeit rechnen. Ich finde die  relative Häufigkeit aber anschaulicher.

> Das ging mir zu schnell. Wieso setzt du in die Formel jetzt
> die Häufigkeiten ein? Kann überhaupt ein konkreter Wert
> dadurch berechnet werden? Wie kommst du auf 1/6?

Also mal Schritt für Schritt:

[mm] \bruch{H_n}{n}\ge \bruch{1}{2} \Rightarrow |\bruch{H_n}{n}-\bruch{1}{3}| \ge |\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}|=\bruch{1}{6} [/mm]

Mit der Tschebyscheff-Ungleichung kannst du nun die obere Schranke berechnen.

[mm] P(|\bruch{H_n}{n}-\bruch{1}{3}|\ge\bruch{1}{6})\le \bruch{Var(x)}{1/36}=\bruch{p*(1-p)}{1/36*n} [/mm]

Bezug
        
Bezug
Chebychev Ungleichung: nur zur Formulierung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Mo 07.01.2013
Autor: Al-Chwarizmi


> Eine unfaire Münze fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von
> 1/3 auf Kopf und mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 auf
> Zahl. Bestimmen Sie obere Schranken für die
> Wahrscheinlichkeit, dass die Münze von
> n Würfen mehr als die Hälfte Mal Kopf zeigt;
> ......


Nur zur Formulierung der Aufgabe:

So wie ich das verstehe, zeigt eine geworfene Münze "Zahl",
wenn sie auf "Kopf" gefallen ist, und umgekehrt !

Oder: das sprichwörtliche Butterbrot "zeigt" die Brotseite,
wenn es auf die Butterseite gefallen ist ...    ;-)    ;-)

LG ,   Al-Chwarizmi

Bezug
        
Bezug
Chebychev Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Mo 07.01.2013
Autor: luis52


>  
> Ich stehe bei dieser Aufgabe ziemlich auf dem Schlauch. Ich
> kenne die Chebychev-Ungleichung und habe mir bis jetzt
> überlegt, dass meine Zufallsgröße X binomialverteilt
> ist.
> Für Kopf ist die Wsl. 1/3, weswegen ich zu einem
> Erwartungswert von E[x] = 1/3n und einer Var[x]=2/9n komme.

Mit der Notation von ahnungsloser86 ist


[ok] [mm] $\operatorname{E}[H_n]=\frac{n}{3}$, $\operatorname{Var}[H_n]=\frac{2n}{9}$ [/mm]

> Ist das überhaupt die richtige Herangehensweise

Ja.

>  Nun stehe ich vor meinem Hauptproblem - dem Anwenden der
> Formel. Mehr als die Hälfte mal - heißt das, ich muss
> für mein t 51% wählen?

Es sind Aussagen ueber [mm] $P(H_n>n/2)$ [/mm] zu treffen. (Man muss nicht mit der relativen Haeufigkeit [mm] $H_n/n$ [/mm] argumentieren.)

vg Luis




Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]