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| Aufgabe | In der folgenden partiellen Charaktertafel einer Gruppe G fehlt eine Konjugationsklasse. (Die eingeklammerte Zahl ist die Anzahl der Elemente in der jeweiligen Konjugiertenklasse.)
[mm] \begin{matrix}
. & (1) & (1) & (2) & (2) & (3) \\
. & 1 & u & v & w & x \\
\chi_0 & 1 &1&1&1&1 \\
\chi_1 &1&1&1&1&-1 \\
\chi_2 &1&-1&1&-1&i \\
\chi_3 &1&-1&1&-1&-i \\
\chi_4 &2&-2&-1&1&0
\end{matrix} [/mm]
a) Man vervollstäandige die Tafel und bestimme dabei insbesondere die Ordnung der Gruppe.
b) Man bestimme (unter Benutzung der angegebenen Konjugiertenklassen) die Kommutatorgruppe [mm] D' [/mm]
c) Man bestimme die Struktur und damit die Isomorphieklasse der Gruppe G.
d) Man Üuberprüufe, dass die in Teil c) identi zierte Gruppe tatsäachlich die obige Charaktertafel hat. |
Den Teil a hab ich soweit gelöst,hier die vollständige Tafel
[mm] \begin{matrix}
. & (1) & (1) & (2) & (2) & (3)&(3) \\
. & 1 & u & v & w & x &y \\
\chi_0 & 1 &1&1&1&1&1 \\
\chi_1 &1&1&1&1&-1&-1 \\
\chi_2 &1&-1&1&-1&i&-i \\
\chi_3 &1&-1&1&-1&-i&i \\
\chi_4 &2&-2&-1&1&0&0
\end{matrix} [/mm]
Die Gruppenordnung ergibt sich damit zu 12.
Bei Teil b bin ich leider etwas ratlos,wie genau ich jetzt die Gruppe bestimmen soll.Wenn ich das richtig sehe,dann kann man die eindimensionalen Darstellungen(und damit auch die Charaktere) aus [mm] G/G' [/mm] bestimmen. Da es 4 eindimensionale Darstellungen gibt und die Mächtigkeit von G 12 ist, vermute ich mal,dass die Mächtigkeit von G' gleich 3 ist.
Die einzige Definition,die wir zur Kommuutatorgruppe haben ist:
[mm] G' := \{ xyx^{-1} y^{-1} , x,y \in G \} [/mm]. Wenn man sich die Elemente ansieht, dann sieht man, dass [mm] xyx^{-1}y^{-1} = ay^{-1} [/mm] wobei a in der gleichen Konjugiertenklasse wie y liegt.Das hilft mir nur bis jetzt rein garnicht weiter. Das einzige, was ich bis jetzt sagen kann ist [mm] xux^{-1} u^{-1} = u u^{-1} =1 [/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 12.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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