Charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien K ein Körper, [mm] n\ge [/mm] 1 eine ganze Zahl und
[mm] P-X^n+ a_{n-1}X^{n-1}+...+ a_{2}X^2+ a_{1}X+ a_{0} \in [/mm] K[X].
Wir betrachten die sogenannte Begleitatrix des Polynoms P, die durch
B(P):= [mm] \pmat{ 0 & ... & ... & ... & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & & & : & -a_{1} \\ 0 & 1 & & & : & -a_{2} \\ : & & & & : & : \\ : & & & & 0 & : \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 & -a_{n-1} } \in M_{n}(K) [/mm] definiert ist.
1. Zeigen Sie: Das charakteristische Polynom von B(P) ist P.
2. Folgern Sie: Für jedes normierte Polynom P [mm] \in [/mm] K[x] existiert eine Matrix A mit Koeffizienten in K, so dass [mm] X_{A} [/mm] -P. ( geschweiftes X) |
Hallo ihr Lieben! Ich bins wieder ;o) und es wäre schön, wenn ihr mir wie so oft helfen könntet!
Zu 1. Da müsste ich doch det( [mm] XI_{n}- [/mm] B(P) berechnen, um das charakteristische Plynom zu bestimmen?
2. verstehe ich gar nicht
Danke schon mal!
|
|
| |
|
> Seien K ein Körper, [mm]n\ge[/mm] 1 eine ganze Zahl und
> [mm]P-X^n+ a_{n-1}X^{n-1}+...+ a_{2}X^2+ a_{1}X+ a_{0} \in[/mm]
> K[X].
Hallo,
das sollte wohl P= [mm] X^n+ a_{n-1}X^{n-1}+...+ a_{2}X^2+ a_{1}X+ a_{0} [/mm] heißen.
> Wir betrachten die sogenannte Begleitatrix des Polynoms P,
> die durch
> B(P):= [mm]\pmat{ 0 & ... & ... & ... & 0 & -a_{0} \\ 1 & 0 & & & : & -a_{1} \\ 0 & 1 & & & : & -a_{2} \\ : & & & & : & : \\ : & & & & 0 & : \\ 0 & ... & ... & 0 & 1 & -a_{n-1} } \in M_{n}(K)[/mm]
> definiert ist.
>
> 1. Zeigen Sie: Das charakteristische Polynom von B(P) ist
> P.
> Zu 1. Da müsste ich doch det( [mm]XI_{n}-[/mm] B(P) berechnen, um
> das charakteristische Plynom zu bestimmen?
Ja.
> 2. Folgern Sie: Für jedes normierte Polynom P [mm]\in[/mm] K[x]
> existiert eine Matrix A mit Koeffizienten in K, so dass
> [mm]X_{A}[/mm] -P. ( geschweiftes X)
> 2. verstehe ich gar nicht
Na, so wie es da steht, kann man es auch nicht verstehen. Es fehlt ja die Aussage.
Ich nehme aber an daß man zeigen soll: ..., so daß [mm] X_A=P. [/mm]
Du kannst ja zu jedem Polynom eine Begleitmatrix wie oben aufstellen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Ja, das könnte durchaus sein, dass es das heißt ;o)
Was genau sind die Merkmale einer Begleitmatrix? Das Wort ist auf meinem Aufgabenzettel zum ersten Mal aufgetaucht...
|
|
|
| |
|
> Was genau sind die Merkmale einer Begleitmatrix? Das Wort
> ist auf meinem Aufgabenzettel zum ersten Mal aufgetaucht...
Hallo,
auf Deinem Aufgabenzettel steht doch, wie zu einem vorgegebenen Polynom die Begleitmatrix gebaut wird.
Die Begleitmatrix ist eben die angegebene Matrix: auf der "Unterdiagonalen" Einsen, in der rechten Spalte das negative der Koeffizienten, ansonsten Nullen.
Eine wichtige Eigenschaft sollst Du in Aufgabenteil a) beweisen, daß nämlich das charakteristische Polynom der Begleitmatrix eines vorgegebenen Polynoms das Polynom selbst ist.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
