Charakteristische Funktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:09 Mi 12.01.2005 | | Autor: | JannisCel |
Leider habe ich eine Aufgabe vorliegen die ich nicht ganz schaffe.
Es geht um folgende Aussage welche zu beweisen ist.
Die charakteristische Funktion der Zufallsvariablen X mit Werten in [mm] \IR [/mm] ist genau dann 2 mal stetig in 0 diffbar, wenn E(x^[2])< [mm] \infty [/mm] gilt.
Die Richtung vom E( [mm] x^{2} [/mm] )< [mm] \infty [/mm] nach Diffbarkeit habe ich. Es fehlt mir die Rückrichtung.
Ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 13.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Mir ist nicht klar, wie man das exakt beweist, aber es könnte folgendermaßen intuitv funktionen:
Nach Voraussetzung existiert:
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \frac{i \int e^{ihy} y P_X(dy) - i \int y P_X(dy)}{h} [/mm] = i [mm] \lim\limits_{h \to 0} \int \frac{(e^{ihy} - 1)}{h}\, [/mm] y [mm] \, P_X(dy)$,
[/mm]
und wegen
[mm] $\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{ihy} - 1}{h} [/mm] = iy$
kann man dann vielleicht (sauber!) auf die Existenz von [mm] $E[X^2] [/mm] = [mm] \int y^2 \, P_X(dy)$ [/mm] schließen.
Bringt dir das was?
Viele Grüße
Julius
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