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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Di 19.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Astrid!
Zunächst einmal zur Beruhigung: Wir kriegen das Problem im Laufe dieses Beitrags hier gelöst, auch wenn ich wieder zwischendurch dummes Zeug quatsche. 
So, erst einmal ist es nicht besonders geschickt das ganze "nur" in [mm] $\IR$ [/mm] zu formulieren (dein Dozent war sicherlich zu faul das Skalarprodukt hinzuschreiben, aber hier ist das nicht wirklich sinnvoll). Warum? Nun, wir reden von der Transponierten einer linearen Abbildung. Was aber ist die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung [mm] $f:\IR \to \IR$? [/mm] Naja, eine $(1 [mm] \times [/mm] 1)$-Matrix, mithin eine Zahl. Und diese transponiert ist wieder eine Zahl - dann könnte man das Transponiertzeichen aber auch weglassen. Formuliert man das Problem also in [mm] $\IR$, [/mm] würde man es gar nicht sehen... falls du verstehst, was ich meine... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]") ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Drücken wir uns also mal nicht vor dem Problem und formulieren es im [mm] $\IR^d$.
[/mm]
So, es gilt dann:
[mm] $\varphi_{T \circ X}(y) [/mm] = [mm] \hat{P_{T \circ X}}(y) [/mm] = [mm] \int e^{i\langle x,y\rangle} P_{T \circ X}(dx)$.
[/mm]
Wie du schon ganz richtig vermutet hast, kommt jetzt der Transformationssatz zum Tragen.
Allgemein lautet er ja so:
Es sei [mm] $(\Omega,{\cal A},\mu)$ [/mm] ein Maßraum und [mm] $(\Omega',{\cal A}')$ [/mm] ein weiterer Messraum sowie [mm] $T:(\Omega,{\cal A}) \to (\Omega',{\cal A}')$ [/mm] eine [mm] ${\cal A}-{\cal A}'$-messbare [/mm] Abbildung.
Weiterhin sei
[mm] $T(\mu)(A') [/mm] = [mm] \mu(T^{-1}(A'))$
[/mm]
das Bildmaß von [mm] $\mu$ [/mm] unter $T$. Dann gilt für jede [mm] ${\cal A}'$-messbare [/mm] Funktion $f' [mm] \ge [/mm] 0$ auf [mm] $\Omega'$:
[/mm]
[mm] $\int [/mm] f'(x') [mm] T(\mu)(dx') =\int (f'\circ T)(x)\mu(dx)$.
[/mm]
Die Einschränkung, dass $f'$ reell und nichtnegativ sein soll, braucht uns nicht zu schocken. Ist $f'$ komplex, so spalten wir $f'$ in Real-und Imaginärteil auf. Ist $f'$ nicht nichtnegativ  , so spalten wir es in Positiv- und Negativteil auf.
Bei dir ist jetzt in dem Satz (und das könnte dich verwirren, denke bitte in Ruhe darüber nach):
[mm] $(\Omega,{\cal A}) [/mm] = [mm] (\Omega',{\cal A}') [/mm] = [mm] (\IR^d,{\cal B}(\IR^d))$, [/mm]
[mm] $\mu =P_X$ [/mm] (also bereits die Verteilung von $X$, also das Bildmaß von $P$ unter $X$, mithin ein Maß auf [mm] $(\IR^d,{\cal B}(\IR^d)$),
[/mm]
[mm] $T:\IR^d \to \IR^d$ [/mm] linear (die Multiplikation mit einer Matrix $T$)
und für festes $y [mm] \in \IR^d$:
[/mm]
[mm] $f_y'(x):=e^{i\langle x,y \rangle}$.
[/mm]
Nun gilt nach dem Transformationssatz also (beachte: [mm] $T(P_X) [/mm] = T(X(P)) = (T [mm] \circ [/mm] X)(P) = [mm] P_{T \circ X}$:
[/mm]
[mm] $\int e^{i\langle x,y\rangle} P_{T \circ X}(dx) [/mm] = [mm] \int f_y'(x) T(P_X)(dx) [/mm] = [mm] \int f_y'(T(x)) P_X(dx) [/mm] = [mm] \int e^{i \langle Tx,y \rangle} P_X(dx)$.
[/mm]
Und das ist fast das, was wir haben wollen! ![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]") ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]") Hört auf zu feiern, Jungs... fast erst... schade.... ![[wein]](/images/smileys/wein.gif "[wein]")
Naja, aber der Rest ist Lineare Algebra, und das sollte uns keine Probleme bereiten.
Die Transponierte hat einige wunderschöne Eigenschaften, insbesondere in Zusammenhang mit dem Skalarprodukt. So gilt zum Beispiel:
[mm] $\langle [/mm] Tx,y [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle x,T^t y\rangle$
[/mm]
für eine lineare Abbildung $T: [mm] \IR^d \to \IR^d$. [/mm] Sprich: Man kann diese rübershiften, indem man sie transponiert! Und das sieht verdächtig so aus, als könnten wir es gebrauchen.
Denn jetzt folgt ja:
[mm] $\int e^{i \langle Tx,y \rangle} P_X(dx) [/mm] = [mm] \int e^{i \langle x,T^ty \rangle} P_X(dx) [/mm] $.
Setzt man jetzt alles zusammen, so hat man:
[mm] $\varphi_{T \circ X}(y) =\int e^{i \langle x,T^ty \rangle} P_X(dx) [/mm] $.
Das war's schon.
Liebe Grüße
Stefan
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]"){kind=small}
Zu meiner Verteidigung muss ich allerdings sagen, dass mir schon aufgefallen ist, dass das mit der Transponierten dann keinen Sinn macht. Aber ich wußte, du verstehst mich trotzdem... 