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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Do 14.04.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Charakteristiken der folgenden Differentialgleichungen:
x [mm] \frac{\partial u}{\partial t}- t\frac{\partial u}{\partial }=0 [/mm] in [mm] \IR \times (0,\infty) [/mm] |
Also ich glaub ich hab das mit den Charakteristiken nicht so ganz verstanden.
Es gilt doch: [mm] \gamma(s)=(\chi(s),\tau(s)) [/mm] ist Charakteristik, wenn:
[mm] \frac{d\gamma(s)}{ds}=c(\gamma(s)) [/mm] mit [mm] c\cdot [/mm] Du=0, also c=(-t,x) und [mm] Du=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial t}). [/mm]
Dann hab ich doch ein System von gewöhnlichen DGL, das so aussieht oder?
[mm] \chi'(s)=-\tau(s)
[/mm]
[mm] \tau'(s)=\chi(s)
[/mm]
Oder?
Und was mach ich jetzt weiter? Muss ich das irgendwie lösen? Und was genau ist dann die Charakeristik? Das [mm] \gamma?
[/mm]
Wäre super, wenn mir da jemand helfen kann. Komme leider nicht weiter und finde nirgends eine gute Erklärung oder Beispiel.
DANKE :)
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Hallo aly19,
> Berechnen Sie die Charakteristiken der folgenden
> Differentialgleichungen:
> x [mm]\frac{\partial u}{\partial t}- t\frac{\partial u}{\partial }=0[/mm]
> in [mm]\IR \times (0,\infty)[/mm]
> Also ich glaub ich hab das mit
> den Charakteristiken nicht so ganz verstanden.
> Es gilt doch: [mm]\gamma(s)=(\chi(s),\tau(s))[/mm] ist
> Charakteristik, wenn:
> [mm]\frac{d\gamma(s)}{ds}=c(\gamma(s))[/mm] mit [mm]c\cdot[/mm] Du=0, also
> c=(-t,x) und [mm]Du=(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial t}).[/mm]
> Dann hab ich doch ein System von gewöhnlichen DGL, das so
> aussieht oder?
> [mm]\chi'(s)=-\tau(s)[/mm]
> [mm]\tau'(s)=\chi(s)[/mm]
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Oder?
> Und was mach ich jetzt weiter? Muss ich das irgendwie
> lösen? Und was genau ist dann die Charakeristik? Das
Die Lösungen dieses Systems vonn gewöhnlichen DGLn
sind die Charakteristiken.
> [mm]\gamma?[/mm]
> Wäre super, wenn mir da jemand helfen kann. Komme leider
> nicht weiter und finde nirgends eine gute Erklärung oder
> Beispiel.
> DANKE :)
Mehr dazu: ![[]](/images/popup.gif) Methode der Charakteristiken
Beachte dort den angegebenen Weblink.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Fr 15.04.2011 | | Autor: | aly19 |
Wäre die Lösung dann:
[mm] \gamma(s)=(\chi(s),\tau(s))=((C_1 cos(s)+C_2 [/mm] sin(s)), [mm] (T_1 sin(s)-T_2 [/mm] cos(s)))?
Und das bezeichnet man dann als Charakteristik?
Wäre super, wenn mir das noch jemand sagen kann.
vielen dank
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Hallo aly19,
> Wäre die Lösung dann:
> [mm]\gamma(s)=(\chi(s),\tau(s))=((C_1 cos(s)+C_2[/mm] sin(s)), [mm](T_1 sin(s)-T_2[/mm]
> cos(s)))?
Die Konstanten müssen doch gleich sein: [mm]C_{i}=T_{i}, \ i=1,2[/mm]
> Und das bezeichnet man dann als Charakteristik?
Ja, das bezeichnet man dann als Charakteristik.
> Wäre super, wenn mir das noch jemand sagen kann.
> vielen dank
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Fr 15.04.2011 | | Autor: | aly19 |
upps ja, bin mit meiner eigenen notation durcheinander gekommen, die sollten auch gleich sein. danke auf jedenfall.
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