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| Aufgabe | Beweisen Sie folgenden Satz:
Sei X ein reeller Vektorraum.
(a) Ist [mm] $\leq$ [/mm] eine Halbordnung auf X, so ist
$K:= [mm] \{ x \in X: 0_x \leq x\}$
[/mm]
ein konvexer Kegel. Ist [mm] $\leq$ [/mm] zusätzlich antisymmetrisch, so ist K spitz.
(b) Ist K ein konvexer Kegel in X, so ist die binäre Relation
$ [mm] \leq:= \{(x,y) \in X \times X: y-x \in K\}$
[/mm]
eine Halbordnung auf X. ISt C zusätzlich spitz, so ist [mm] $\leq$ [/mm] antisymmetrisch. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hi,
ich suche einen Beweis zu obigem Satz. Hab leider keine Ahnung wie ich vorgehen soll. Wäre echt cool wenn ihr mir helfen könntet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 So 25.07.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Beweisen Sie folgenden Satz:
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> Sei X ein reeller Vektorraum.
> (a) Ist [mm]\leq[/mm] eine Halbordnung auf X, so ist
> [mm]K:= \{ x \in X: 0_x \leq x\}[/mm]
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> ein konvexer Kegel. Ist [mm]\leq[/mm] zusätzlich antisymmetrisch,
> so ist K spitz.
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> (b) Ist K ein konvexer Kegel in X, so ist die binäre
> Relation
> [mm]\leq:= \{(x,y) \in X \times X: y-x \in K\}[/mm]
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> eine Halbordnung auf X. ISt C zusätzlich spitz, so ist
> [mm]\leq[/mm] antisymmetrisch.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> Hi,
> ich suche einen Beweis zu obigem Satz. Hab leider keine
> Ahnung wie ich vorgehen soll. Wäre echt cool wenn ihr mir
> helfen könntet
Schritt 1: finde heraus, was ein konvexer Kegel genau ist, und was eine Halbordnung genau ist (Axiome!).
Schritt 2: Fange mit a) an. Du musst nachrechnen, dass die Menge ein Kegel ist. Aus Schritt 1 weisst du hoffentlich, was du dafuer tun musst. Versuche es, mit den Axiomen der Halbordnung nachzuweisen.
Schritt 3: Jetzt schau dir den 2. Teil von a) an. Du nimmst an, dass die Halbordnung zusaetzlich antisymmetrisch ist. Was bedeutet dies? Und was bedeutet es, dass der Kegel spitz ist? Kannst du versuchen, das mit der Antisymmetrie nachzurechnen?
Schritt 4: Mach mit b) weiter.
LG Felix
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