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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:54 Di 22.03.2011 | | Autor: | sbh |
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Hallo,
Ich habe die endliche, abelsche Gruppe [mm] G= \IZ/4\IZ \times \IZ/4\IZ [/mm]
Da ja jedes Element aus der Gruppe nur die Ordnung 1,2 oder 4 haben kann, können die Chraktere [mm] (\chi:G-> \IC^{\*} ) [/mm] auch nur die Werte 1, -1, i, -i annehmen (da ja G isomorph zur Charaktergruppe)
Ist das soweit richtig?
Ich habe ja dann (1,0) und (0,1) als Erzeugende und müsste somit wohl 16 Charaktere erhalten.
DIe Gruppe G hat ja 16 Elemente und jedem Element wird ja durch dem Charakter eine von denen vierten-Einheitswurzeln zugeordnet.
Somit erhalte ich auch 16 Charakter???
Und kann man die Zuordnung angeben?
Oder liege ich hier gerade total falsch?
Viele Grüße
sbh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Di 22.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich habe die endliche, abelsche Gruppe [mm]G= \IZ/4\IZ \times \IZ/4\IZ[/mm]
>
> Da ja jedes Element aus der Gruppe nur die Ordnung 1,2
> oder 4 haben kann, können die Chraktere [mm](\chi:G-> \IC^{\*} )[/mm]
> auch nur die Werte 1, -1, i, -i annehmen (da ja G isomorph
> zur Charaktergruppe)
> Ist das soweit richtig?
>
> Ich habe ja dann (1,0) und (0,1) als Erzeugende und müsste
> somit wohl 16 Charaktere erhalten.
>
> DIe Gruppe G hat ja 16 Elemente und jedem Element wird ja
> durch dem Charakter eine von denen vierten-Einheitswurzeln
> zugeordnet.
> Somit erhalte ich auch 16 Charakter???
> Und kann man die Zuordnung angeben?
> Oder liege ich hier gerade total falsch?
das stimmt so.
Allgemein gilt: sind [mm] $G_1, G_2, [/mm] H$ Gruppen, so gilt [mm] $Hom(G_1 \times G_2, [/mm] H) [mm] \cong Hom(G_1, [/mm] H) [mm] \times Hom(G_2, [/mm] H)$. Und ist $G$ zyklisch der Ordnung $n$, so gibt es eine Bijektion $Hom(G, H) [mm] \to \{ h \in H \mid \text{Ordnung von } h \text{ teilt } n \}$.
[/mm]
Wenn du hier [mm] $G_1 [/mm] = [mm] G_2 [/mm] = G = [mm] \IZ/4\IZ$ [/mm] und $H = [mm] \IC^\ast$ [/mm] (oder einfacher $H = [mm] \{ -1, 1, -i, i \}$) [/mm] nimmst, bekommst du genau das was du oben geschrieben hast :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Di 22.03.2011 | | Autor: | sbh |
Vielen Dank!
Gruß sbh
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