Cesaro Limiten terminal < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich möchte zeigen, dass die Cesaro Limiten messbar bzgl. der terminalen Sigma Algebra sind. |
Ich verstehe den Beweis, bis auf einen Schritt, in dem folgendes behauptet wird:
[mm] $\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k=\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k$ [/mm] für alle [mm] $N\in\mathbb{N}$. [/mm] Kann mir da jemand erklären, warum dies gilt? Danke!
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> Ich möchte zeigen, dass die Cesaro Limiten messbar bzgl.
> der terminalen Sigma Algebra sind.
> Ich verstehe den Beweis, bis auf einen Schritt, in dem
> folgendes behauptet wird:
>
> [mm]\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k=\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k[/mm]
> für alle [mm]N\in\mathbb{N}[/mm]. Kann mir da jemand erklären,
> warum dies gilt? Danke!
[mm]\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k[/mm]
=[mm]\liminf_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}X_k+\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k)[/mm]
[mm] =\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N-1}X_k+\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k
[/mm]
[mm] =\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}(eine [/mm] von N abhängige feste [mm] Zahl)+\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k [/mm]
=0 (wegen [mm] \frac{1}{n} [/mm] vor der festen [mm] Zahl)+\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k
[/mm]
[mm] =\liminf_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=N}^nX_k
[/mm]
für alle [mm]N\in\mathbb{N}[/mm]
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