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| Aufgabe | Wir betrachten Matm(K) als K-Vektorraum.
a) Sei A ∈ Matm(K). Verwenden Sie den Satz von Cayley-Hamilton, um An ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1) für alle ganzen Zahlen n ≥ 1 zu zeigen.
b) Sei nun A ∈ GLm(K). Zeigen Sie A−1 ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1). |
Hallo,
ich weiss, dass der Satz von Hamilton aussagt, dass A eine Nullstelle zu seinem charakteristischen Polynom ist. also p(A) = 0
Aber ich verstehe den Zusammenhang zum spann einfach nicht richtig. Ich wäre froh mir könnte da jemand helfen.
Spann ist ja in dem Fall:
[mm] a_1*E_M [/mm] + [mm] a_2*A [/mm] + ... + a_(m-1)*A
mit [mm] a_1,...,a_m \in [/mm] K ?
Danke
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> Wir betrachten Matm(K) als K-Vektorraum.
> a) Sei A ∈ Matm(K). Verwenden Sie den Satz von
> Cayley-Hamilton, um An ∈ Spann(Em,A,A2,...,Am−1) für
> alle ganzen Zahlen n ≥ 1 zu zeigen.
> b) Sei nun A ∈ GLm(K). Zeigen Sie A−1 ∈
> Spann(Em,A,A2,...,Am−1).
> Hallo,
> ich weiss, dass der Satz von Hamilton aussagt, dass A eine
> Nullstelle zu seinem charakteristischen Polynom ist. also
> p(A) = 0
> Aber ich verstehe den Zusammenhang zum spann einfach nicht
> richtig. Ich wäre froh mir könnte da jemand helfen.
Hallo,
A ist eine [mm] m\times [/mm] m-Matrix.
Ihr charakteristisches Polynom [mm] \chi [/mm] _{A} ist ein normiertes Polynom vom Grad m.
Also ist [mm] \chi [/mm] _{A}(x [mm] )=x^{m}+a_{m-1}x^{{m-1}}+a_{m-2}x^{{m-2}}+...+a_1x+a_{0}.
[/mm]
Nun nutze den Satz von Hamilton-Cayley, setze also für x die Matrix A ein...
LG Angela
> Spann ist ja in dem Fall:
> [mm]a_1*E_M[/mm] + [mm]a_2*A[/mm] + ... + a_(m-1)*A
> mit [mm]a_1,...,a_m \in[/mm] K ?
> Danke
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Hallo,
vielen Dank,
eingesetzt ist das Polynom gleich dem Spann bis auf [mm] a_m*A^m [/mm]
also is der Spann bis auf das gleich 0?
Dann wäre also zu zeigen das
A [mm] \in spann(A^m) [/mm] ?
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> Hallo,
> vielen Dank,
>
> eingesetzt ist das Polynom gleich dem Spann bis auf [mm]a_m*A^m[/mm]
> also is der Spann bis auf das gleich 0?
???
Ich weiß nicht, was Du meinst.
Daß A, [mm] A^2,...,A^{m-1} [/mm] im [mm] Spann(E_m,A,A^2,...,A^{m-1}) [/mm] ist, sollte nicht erstaunlich sein, denn z.B. ist
[mm] A^2=0*E_m+0*A+1*A^2+0*A^3+...+0*A^{m-1}.
[/mm]
Das charakteristische Polynom von A hat den Grad m, ist also so gemacht:
[mm] \chi_{A}(x)=x^{m}+a_{m-1}x^{{m-1}}+a_{m-2}x^{{m-2}}+...+a_1x+a_{0}.
[/mm]
Hamiton-Cayley sagt: [mm] Nullmatrix=A^{m}+a_{m-1}A^{{m-1}}+a_{m-2}A^{{m-2}}+...+a_1A+a_{0}E_m
[/mm]
> Dann wäre also zu zeigen das
> A [mm]\in spann(A^m)[/mm] ?
Ist [mm] A^m [/mm] im [mm] spann(E_m,A,A^2,...,A^{m-1})? [/mm] Kannst Du [mm] A^m [/mm] also als Linearkombination dieser Matrizen schreiben?
Und [mm] A^{m+1}=A*A^m?
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Mi 29.03.2017 | | Autor: | mariella22 |
Danke für die Hilfe! Es hat jetzt geklappt :)
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