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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Fr 13.03.2009 | | Autor: | qaywertz |
| Aufgabe | [mm] (E'(\lambda) [/mm] ist der Hauptraum zu Lambda)
Satz von Cayley-Hamilton:
Setz man L [mm] \in [/mm] End(V) in sein char. Polynom [mm] P_{L} [/mm] ein, so erhält man [mm] P_{L}(L)=0 \in [/mm] End(V)
Beweis:
Wir führen den Beweis nur für den Fall durch, dass [mm] P_{L} [/mm] zerfällt, weil bla (Begründung erstmal egal). Offenbar genügt es zu zeigen, dass für jeden EW [mm] \lambda [/mm] von L gilt:
(*) [mm] P_{L}(L)|E'(\lambda) [/mm] = 0
(...) |
Hallo!
Ich bin grad am Lernen auf ne mündliche Prüfung und sollte die obige Aussage (bzw den Beweis) verstanden haben.
Damit mir das gelingt, wäre es klasse, wenn ihr mir dazu ein paar Fragen beantworten könntet denn alleine krieg ich das nicht hin:
Was ich daran nicht verstehe ist, warum es ausreicht (*) zu zeigen.
Es gilt doch [mm] E'\subset [/mm] V, aber [mm] P_{L}(L):End(V)\to [/mm] End(V), oder? Dann kann ich doch P gar nicht auf E' einschränken?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm](E'(\lambda)[/mm] ist der Hauptraum zu Lambda)
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> Satz von Cayley-Hamilton:
> Setz man L [mm]\in[/mm] End(V) in sein char. Polynom [mm]P_{L}[/mm] ein, so
> erhält man [mm]P_{L}(L)=0 \in[/mm] End(V)
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> Beweis:
> Wir führen den Beweis nur für den Fall durch, dass [mm]P_{L}[/mm]
> zerfällt, weil bla (Begründung erstmal egal). Offenbar
> genügt es zu zeigen, dass für jeden EW [mm]\lambda[/mm] von L gilt:
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> (*) [mm]P_{L}(L)|E'(\lambda)[/mm] = 0
>
> (...)
> Hallo!
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> Ich bin grad am Lernen auf ne mündliche Prüfung und sollte
> die obige Aussage (bzw den Beweis) verstanden haben.
> Damit mir das gelingt, wäre es klasse, wenn ihr mir dazu
> ein paar Fragen beantworten könntet denn alleine krieg ich
> das nicht hin:
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> Was ich daran nicht verstehe ist, warum es ausreicht (*) zu
> zeigen.
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> Es gilt doch [mm]E'\subset[/mm] V, aber [mm]P_{L}(L):End(V)\to[/mm] End(V),
> oder? Dann kann ich doch P gar nicht auf E' einschränken?
Hallo,
was soll denn E' überhaupt sein? Der Eigenraum zu [mm] \lambda?
[/mm]
> Es gilt doch [mm]E'\subset[/mm] V, aber [mm]P_{L}(L):End(V)\to[/mm] End(V),
Nein, wenn Du eine lineare Abbildung [mm] (V\to [/mm] V) ins charakteristische Polynom einsetzt, ist das Ergebnis doch wieder eine lineare Abbildung, die aus dem V in den V abbildet.
Also ist [mm] P_{L}(L)\in [/mm] End(V), was bedeutet, daß [mm] P_{L}(L) [/mm] aus dem V in den V abbildet.
Gruß v. Angela
> oder? Dann kann ich doch P gar nicht auf E' einschränken?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 13.03.2009 | | Autor: | qaywertz |
warum geht denn [mm] P_{L} [/mm] von V [mm] \to [/mm] V?
wenn ich L [mm] \in [/mm] End(V) in [mm] P_{L} [/mm] einsetze, heißt das doch dass End(V) der Urbildraum von [mm] P_{L} [/mm] ist, oder?
L ist ja kein Element aus V, warum sollte ich das dann einsetzen können?
Es gilt doch auch:
[mm] P_{L}(L)=a_{0}id_{V} [/mm] + [mm] a_{1}L [/mm] + [mm] a_{2}L \circ [/mm] L + ...
Dann ergibt diese Summe doch wieder eine lineare Abbildung, oder? Das wäre dann ja wieder kein Element aus V...?
Ist dieses [mm] P_{L} [/mm] vllt irgendeine Schreibweise die ich nicht ganz verstanden habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> warum geht denn [mm]P_{L}[/mm] von V [mm]\to[/mm] V?
Das hat keiner behauptet. [mm] $P_L:End(V)\ni \alpha\mapsto \sum_i p_i\alpha^i\in [/mm] End(V)$ ordnet Endomorphismen Endomorphismen zu, also ist [mm] $P_L(L)\in [/mm] End(V)$, m.a.W. [mm] $P_L(L):V\to [/mm] V$.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Fr 13.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Offenbar genügt es zu zeigen, dass für jeden EW [mm]\lambda[/mm] von L gilt:
> (*) [mm]P_{L}(L)|E'(\lambda)[/mm] = 0
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> Was ich daran nicht verstehe ist, warum es ausreicht (*) zu zeigen.
Ja weil [mm] $V=\bigoplus_i E'(\lambda_i)$ [/mm] nach dem Zeerlegungslemma. Jeder jedes [mm] $v\in [/mm] V$ liegt lässt sich also als Linearkombination von "Hauptraumvektoren" schreiben.
> Es gilt doch [mm]E'\subset[/mm] V, aber [mm]P_{L}(L):End(V)\to[/mm] End(V),
> oder? Dann kann ich doch P gar nicht auf E' einschränken?
Wie Angela, schon sagte: [mm] $P_L(L)\in [/mm] End(V)$, d.h. [mm] $P_L(L):V\to [/mm] V$.
Gruß, Robert
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