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| Aufgabe | Cauchyscher Verdichtungssatz:
Sei [mm] (a_k)_{k\in N} [/mm] eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Dann konvergiert [mm] \sum^\infty_{k=1} a_k [/mm] genau dann, wenn [mm] \sum^ \infty_{k=0} 2^k a_{2^k} [/mm] konvergiert. |
Hallo liebes Forum,
Ich verstehe zu diesem Satz den Beweis nicht so ganz. Ich kann zwar jeden einzelnen Schritt der im Beweis angegebenen Abschätzung nachvollziehen, verstehe aber nicht, warum im Prinzip gezeigt wird, daß für jedes n gilt:
[mm] \sum^{2^{n+1}-1}_{k=1} a_k \le \sum^n_{k=0} 2^k a_{2^k} \le \sum^{2^n}_{k=1} 2a_k
[/mm]
Hier erstmal der Beweis:
Beweis:
Mit [mm] s_n [/mm] = [mm] \sum^n_{k=1} a_k [/mm] ist
[mm] s_{2^{n+1}-1} [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_4 [/mm] + [mm] a_5 [/mm] + [mm] a_6 [/mm] + [mm] a_7 [/mm] + [mm] a_8 [/mm] + [mm] a_9 [/mm] + ... + [mm] a_{2^{n+1}-1}
[/mm]
[mm] \le a_1 [/mm] + [mm] \underbrace{a_2 + a_2}_{2^k-mal (k=1)} [/mm] + [mm] \underbrace{a_4 + a_4 + a_4 + a_4}_{k-mal (k=2)} [/mm] + [mm] a_8 [/mm] + [mm] a_8 [/mm] + ... + [mm] \underbrace{a_{2^n} + ... + a_{2^n}}_{2^{n}-mal}
[/mm]
= [mm] \sum^n_{k=0} 2^k a_{2^k}
[/mm]
[mm] \le a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_3 [/mm] + [mm] a_4 [/mm] + [mm] a_4 [/mm] + [mm] a_5 [/mm] + [mm] a_5 [/mm] + ... + [mm] a_{2^n}
[/mm]
= [mm] 2s_{2^n} [/mm] - [mm] a_1
[/mm]
[mm] \le 2s_{2^n}
[/mm]
Die Behauptung folgt mit dem folgenden Satz (dessen Aussage u. Beweis mir klar ist, ich gebe ihn nur der Vollständigkeit halber an):
Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen, d.h. es gelte [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n. Dann konvergiert [mm] \sum a_n [/mm] genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist.
[mm] \Box
[/mm]
Nun nochmal meine Frage:
Warum folgt aus der o.g. Abschätzung, daß die Folge der Partialsummen beschränkt ist?? Daß sie nach unten beschränkt ist, sehe ich ein, da [mm] s_{2^{n+1}-1} \ge [/mm] 0 sein dürfte (nichtnegative Zahlen in [mm] (a_k)). [/mm] Aber warum folgt die Beschränkung nach oben? [mm] 2s_{2^n} [/mm] kann doch beliebig groß werden, oder sehe ich das falsch?
Im Voraus bereits einen supergroßen Dank für einen hilfreichen Hinweis! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:27 Di 28.03.2006 | | Autor: | topotyp |
Eigentlich stehts schon da, aber wie so häufig kann man sich
zwischen den Zeilen verlaufen.
Also die erste grosse Ungleichung, sei das mal (*).
Offensichtlich folgt aus (*) der behauptete Verdichtungssatz (nicht wahr?)
Und die Ungleichungen (*) stehen bei dir in der langen Ungleichunskette
als
[mm] s_{2^{n-1}} \leq [/mm] ... [mm] \sum_{} 2^k a_{2^k} [/mm]
...
[mm] \leq 2s_{2^n}
[/mm]
Einfach nur die Def. von s einsetzen!
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Hallöchen,
Danke erstmal für die Antwort!
"Offensichtlich folgt aus (*) der behauptete Verdichtungssatz" - Genau das ist ja das, was ich nicht sehe!
Ich weiß, daß es das ist, was durch die lange Ungleichungskette gezeigt wird (ich selbst habe es ja zu der "Kurzform" zusammengefasst), aber wieso ist damit insbes. die Beschränktheit nach oben von [mm] \sum^n_{k=0} 2^k a_{2^k} [/mm] bereits bewiesen?? [mm] \sum^{2^n}_{k=1} 2a_k [/mm] ist ja keine feste obere Schranke, sondern variiert mit jedem n (und wird ggf. beliebig groß?)?!
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Hallo und guten Morgen,
also wir haben doch allgemein die folgende Situation: Wir haben zwei Reihen [mm] \sum_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] und
[mm] \sum_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] gegeben (in unserem Fall hier
die Reihen [mm] \sum a_n [/mm] und [mm] \sum b_n [/mm] mit [mm] b_n=2^n\cdot a_{2^n})
[/mm]
und wir haben für jedes [mm] n\in \IN [/mm] zwei Zahlen [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] mit [mm] n_1\leq n_2
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^{n_1} a_i\:\:\leq \:\: \sum_{i=1}^nb_n\:\: \leq\:\: \sum_{i=1}^{n_2}a_n\:\:\: (\star)
[/mm]
und so, dass [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] mit n gegen [mm] \infty [/mm] gehen und monoton wachsend von n abhängen ( diese letzte Voraussetzung der Monotonie
ist in Deinem Fall gegeben, wird aber im allgemeinen nicht benotigt, sie macht nur das Aufschreiben etwas leichter).
Dann gilt: [mm] \sum_a_n [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] \sum b_n [/mm] konvergiert, und zwar mit demselben Grenzwert.
Wenn ich es richtig verstehe, ist Dein Problem, einzusehen, warum dies so ist.
Nun: Offenbar folgt aus [mm] (\star) [/mm] zunächst mal, dass [mm] (\star) [/mm] auch gilt mit den Rollen von [mm] \suma_n [/mm] und [mm] \sum b_n [/mm] vertauscht.
Daher reicht es, den Fall zu betrachten, dass [mm] (\star) [/mm] gilt und die Reihe [mm] \sum a_n [/mm] konvergiert, wir wollen daraus folgern: [mm] \sum b_n [/mm] konvergiert.
Gelte also [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n\:\: =\:\: [/mm] A. Behauptung: [mm] \sum_{n=1}^{\infty} b_n\: =\: [/mm] A.
Beweis: Wir müssen zeigen, dass es zu jedem [mm] \delta [/mm] > 0 ein [mm] N_0 [/mm] gibt, so dass fuer alle [mm] n\geq N_0
[/mm]
[mm] |\sum_{i=1}^n b_n\;\: -\:\: A|\:\leq \: \delta
[/mm]
Aber zu solchem [mm] \delta [/mm] >0 gibt es ja, da [mm] \sum a_n [/mm] gegen A konvergiert, ein [mm] M_0 [/mm] so, dass fuer alle [mm] n\geq M_0
[/mm]
[mm] |\sum_{i=1}^n a_n\:\: -\:\: A|\:\leq \: \delta\:\:\: (\star\star)
[/mm]
Wir wählen nun [mm] m_0 [/mm] gross genug, dass zu diesem [mm] m_0 [/mm] die Zahl [mm] n_1 [/mm] mit [mm] (\star) \geq M_0 [/mm] ist. Dann gilt also fuer alle [mm] m\geq m_0
[/mm]
[mm] \sum_{i=1}^{n_1}a_i\leq \sum_{i=1}^mb_i\leq\sum_{i=1}^{n_2}a_n
[/mm]
und daher
[mm] |\sum_{i=1}^mb_i\: -A|=|\sum_{i=1}^mb_i\: -\sum_{i=1}^{n_1}a_i+\sum_{i=1}^{n_1}a_i\: [/mm] -A|
[mm] \leq |\sum_{i=1}^mb_i\: -\sum_{i=1}^{n_1}a_i|\:+\:\:|\sum_{i=1}^{n_1}a_i\: [/mm] -A|
[mm] \leq |\sum_{i=1}^mb_i\: -\sum_{i=1}^{n_1}a_i| +\delta\:\:\: (\star\star\star)
[/mm]
Da nun [mm] (\star\star) [/mm] sowohl für [mm] n=n_1 [/mm] als auch fuer [mm] n=n_2 [/mm] gilt (beide sind nach Wahl gross genug), folgt
[mm] |\sum_{i=1}^{n_2}a_i\:\: -\:\:\sum_{i=1}^{n_1}a_i|\leq 2\cdot\delta [/mm] und somit auch
[mm] |\sum_{i=1}^{n_1}a_i \: -\: \sum_{i=1}^mb_i|\:\:\leq 2\cdot \delta
[/mm]
Das zeigt doch aber (eingesetzt in [mm] (\star\star\star)), [/mm] dass wir zu gegebenem [mm] \delta [/mm] >0 [mm] m_0 [/mm] hinreichend gross wählen können, so dass
fuer alle [mm] m\geq m_0 [/mm] gilt:
[mm] |\sum_{i=1}^{m}b_i\: -A|\leq \delta
[/mm]
und damit die Konvergenz.
Hoffentlich hab ich mich nicht verschrieben,
und hoffentlich hilft es weiter.
Gruss,
Mathias
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Guten morgen zurück und vielen Dank für die viele Mühe beim Eintippen der Antwort! Ich hoffe auch, daß sie mir hilft
Wenn ich das jetzt richtig verstehe, wird, um die Äquivalenz im o.g. Satz zu beweisen, folgendes gezeigt:
"Beweisprinzip":
[mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] ist monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Mit diesen Eigenschaften der Folge [mm] (a_k) [/mm] folgt mit dem (Hilfs-)Satz am Ende des Beweises, daß [mm] \sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] konvergiert.
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Da [mm] \sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] konvergiert, wissen wir, daß auch [mm] \sum^ \infty_{k=1} 2a_k [/mm] = [mm] 2\sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] konvergiert.
Nun wird per Abschätzung gezeigt, daß für jedes [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] \sum^{2^{n+1}-1}_{k=1} a_k \le \sum^n_{k=0} 2^k a_{2^k} \le \sum^{2^n}_{k=1} 2a_k
[/mm]
Das heißt, daß auch [mm] \sum^ \infty_{k=0} 2^k a_{2^k} [/mm] konvergiert, was aus dem zweiten [mm] "\le" [/mm] in o.g. Ungleichung folgt.
[mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Aus dem ersten [mm] "\le" [/mm] der o.g. Ungleichung folgt, daß [mm] \sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] konvergiert, wenn [mm] \sum^ \infty_{k=0} 2^k a_{2^k} [/mm] konvergiert.
[mm] \Box
[/mm]
Liege ich nun mit meinem Verständnis richtig ...?!
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Hallo nochmal,
hab jetzt nicht jedes Detail der Nachfrage durchgelesen, aber es sei nochmal klargestellt:
Es wird NICHT bewiesen, dass [mm] \sum_na_n [/mm] konvergiert !!!
SONDERN es wird bewiesen:
[mm] \sum_na_n [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] \sum_{n}2^n\cdot a_{2^n} [/mm] konvergiert.
Und das von Dir vermutete ''Beweisprinzip'' ist keines: Fuer die Konvergenz einer Reihe reicht es nicht, dass
die Folgenglieder nicht-negativ und gegen 0 konvergent sind.
Vielleicht später mehr.
Gruss + viel Erfolg,
Mathias
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Hallöchen nochmal,
"[...] Und das von Dir vermutete ''Beweisprinzip'' ist keines: Fuer die Konvergenz einer Reihe reicht es nicht, dass die Folgenglieder nicht-negativ und gegen 0 konvergent sind. [...]"
- Behaupte ich auch nicht Ich glaube, daß ich jetzt missverstanden wurde. Vielleicht hätte ich den ersten Satz meines "Beweisprinzips" anders formulieren sollen. Also nochmal:
"Beweisprinzip" (oder -idee, wie man will):
Vorbem.: [mm] (a_k)_{k\in\IN} [/mm] ist lt. Voraussetzung monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. Mit diesen Eigenschaften der Folge [mm] (a_k) [/mm] folgt mit dem (Hilfs-)Satz, der am Ende des Beweises steht, daß [mm] \sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] konvergiert.
$ [mm] "\Rightarrow": [/mm] $
Da $ [mm] \sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] $ konvergiert, wissen wir, daß auch $ [mm] \sum^ \infty_{k=1} 2a_k [/mm] $ = $ [mm] 2\sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] $ konvergiert.
Nun wird durch die Abschätzung gezeigt, daß für jedes $ [mm] n\in\IN [/mm] $ gilt:
$ [mm] \sum^{2^{n+1}-1}_{k=1} a_k \le \sum^n_{k=0} 2^k a_{2^k} \le \sum^{2^n}_{k=1} 2a_k [/mm] $
Das heißt, daß auch $ [mm] \sum^ \infty_{k=0} 2^k a_{2^k} [/mm] $ konvergiert, was aus dem zweiten $ [mm] "\le" [/mm] $ in o.g. Ungleichung folgt.
$ [mm] "\Leftarrow": [/mm] $
Aus dem ersten $ [mm] "\le" [/mm] $ der o.g. Ungleichung folgt, daß $ [mm] \sum^ \infty_{k=1} a_k [/mm] $ konvergiert, wenn $ [mm] \sum^ \infty_{k=0} 2^k a_{2^k} [/mm] $ konvergiert.
$ [mm] \Box [/mm] $
Ist das nicht die Idee, die hinter dem Beweis steckt?
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Hallo nochmal,
ja, das ist richtig. Wenn die Folgenglieder alle nicht-negativ sind, folgt das schon daraus.
Was aber nicht aus dem ersten [mm] ''\leq [/mm] '' folgt, ist, dass die Grenzwerte auch gleich sind. 
Und im übrigen gilt diese Gleichheit der Grenzwerte auch dann, wenn solch eine Abschätzung
vorliegt, aber die Folgenglieder nicht notwendig alle nicht-negativ sind.
Viele Grüße,
Mathias
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Puuuh, dann habe ich es endlich verstanden! *Jubel*
Großes Daaanke nochmal für all die Mühe und Tipparbeit!!!
Viele Grüße und bis zum nächsten Mal!
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