Cauchyscher Integralsatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Cauchyscher Integralsatz/ Cauchysche Integralformel
Berechnen sie:
[mm] \integral_{\partial B0.5(1)}^{}{ \bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}dz} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe Probleme die oben genannte Aufgabenstellung zu lösen. Ich bin wie folgt vorgegangen:
Für die Cauchysche Integralformel muss ich doch zunächst eine Partialbruchzerlegung vornehmen. Anschließend schaue ich welche Polstellen im Integrationsbereich liegen, summiere den wert der KOeffizienten an der Polstelle und nehme die mit [mm] 2\pi*i [/mm] mal. ich erhalte dann [mm] 2\pi*i [/mm] , jedoch ist dies falsch. das Vorzeichen muss negativ sein, jedoch weiß ich nicht warum. Kann mir jemand Helfen?
Hier meine Rechnung:
[mm] \bruch{A}{z^3}+\bruch{B}{1-z}=\bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}
[/mm]
=> A=B=e^(1-z)
nur der 2. Term liegt im Integrationsbereich also ist das Integral
[mm] 2*\pi*i*e^{1-z} [/mm] mit z=1 folgt daraus [mm] 2\pi*i
[/mm]
wo liegt mein Fehler?
Danke schonmal im Voraus
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Hallo becksbiertrinker,
> Hier meine Rechnung:
> [mm]\bruch{A}{z^3}+\bruch{B}{1-z}=\bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}[/mm]
>
> => A=B=e^(1-z)
Wie kommst Du denn auf diese Lösung? Mach mal eine Probe...
Für eine Partialbruchzerlegung hätte der vollständige Ansatz so heißen müssen:
[mm] \bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}=\bruch{A}{z}+\bruch{B}{z^2}+\bruch{C}{z^3}+\bruch{D}{1-z}
[/mm]
- allerdings sehe ich nicht, was Dir das hier bringt. Wenn im Zähler kein Polynom steht, ist die Partialbruchzerlegung doch im allgemeinen nicht möglich.
Grüße,
reverend
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wenn ich keine partialbruchzerlegung machen kann, dann funktioniert doch die cauchy-formel doch nicht oder?
den lösungsansatz hatte ich aus einer lösung zu einer anderen Übung, jedoch war da in der tat ein polynom im zähler.
wie muss ich denn dann vorgehen um das obige integral mit cauchy zu lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> wenn ich keine partialbruchzerlegung machen kann, dann
> funktioniert doch die cauchy-formel doch nicht oder?
Doch, siehe meine Antwort unten
> den lösungsansatz hatte ich aus einer lösung zu einer
> anderen Übung, jedoch war da in der tat ein polynom im
> zähler.
Na also!
FRED
>
> wie muss ich denn dann vorgehen um das obige integral mit
> cauchy zu lösen?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Cauchyscher Integralsatz/ Cauchysche Integralformel
> Berechnen sie:
>
> [mm]\integral_{\partial B0.5(1)}^{}{ \bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}dz}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe Probleme die oben genannte Aufgabenstellung zu
> lösen. Ich bin wie folgt vorgegangen:
> Für die Cauchysche Integralformel muss ich doch zunächst
> eine Partialbruchzerlegung vornehmen. Anschließend schaue
> ich welche Polstellen im Integrationsbereich liegen,
> summiere den wert der KOeffizienten an der Polstelle und
> nehme die mit [mm]2\pi*i[/mm] mal. ich erhalte dann [mm]2\pi*i[/mm] , jedoch
> ist dies falsch. das Vorzeichen muss negativ sein, jedoch
> weiß ich nicht warum. Kann mir jemand Helfen?
Partialbruchzerlegung hat hier nichts zu suchen !!!
Ich glaube Du bist irgendwo im Dunstkreis des Residuensatzes
>
> Hier meine Rechnung:
> [mm]\bruch{A}{z^3}+\bruch{B}{1-z}=\bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}[/mm]
>
> => A=B=e^(1-z)
> nur der 2. Term liegt im Integrationsbereich also ist das
> Integral
> [mm]2*\pi*i*e^{1-z}[/mm] mit z=1 folgt daraus [mm]2\pi*i[/mm]
>
> wo liegt mein Fehler?
Ich nehme an, $ B0.5(1)$ = { [mm] z\in \IC: [/mm] |z-1|< 1/2} = $ [mm] B_{0.5}(1)$
[/mm]
Setze f(z) = [mm] \bruch{e^{1-z}}{z^3}. [/mm] Dann ist f auf $ [mm] B_{1}(1)$ [/mm] holomorph und [mm] $\partial B_{0.5}(1)$ \subseteq [/mm] $ [mm] B_{1}(1)$
[/mm]
Nach der Cauchyschen Integralformel ist
$ [mm] \integral_{\partial B{0.5}(1)}^{}{ \bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}dz} [/mm] $ = [mm] $-2\pi [/mm] i f(1) = -2 [mm] \pi [/mm] i$
FRED
>
> Danke schonmal im Voraus
>
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Demnach ist das Minus schon in der Cauchyschen Formel enthalten?
Wenn ich jetzt beispielsweise das Integral
[mm] \integral_{\partial B0.5(0)}^{}{ \bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}dz} [/mm]
lösen will gehe ich dann wie folgt vor:
setze f(z)= [mm] \bruch{e^{1-z}}{(1-z)}
[/mm]
dann ist f(z) analytisch in dem Gebiet da die Singularitäten von f ausserhalb liegen.
da [mm] z^3 [/mm] ein 3facher Pol ist, muss ich f(z) 2 mal Ableiten und dann
[mm] 2\pi i\bruch{f^{(2)}}{2!} [/mm] bilden. Da kommt dann [mm] -\pi [/mm] i*e heraus. Das Minuszeichen ist aber laut der Lösung falsch. Was mache ich immer mit dem Vorzeichen falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Di 10.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Demnach ist das Minus schon in der Cauchyschen Formel
> enthalten?
Wir hatten: f(z) = [mm] \bruch{e^{1-z}}{z^3}
[/mm]
Sei K = [mm] \partial B_{0,5}(1). [/mm] Nach der Cauchyschen Formel:
$f(1) = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{K}^{}{\bruch{f(w)}{w-1}dw} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{K}^{}{\bruch{e^{1-w}}{w^3(w-1)}dw} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{K}^{}{\bruch{e^{1-w}}{w^3(1-w)}dw}$
[/mm]
Siehst Du jetzt woher das "-" kommt ?
>
> Wenn ich jetzt beispielsweise das Integral
>
> [mm]\integral_{\partial B0.5(0)}^{}{ \bruch{e^{1-z}}{z^3(1-z)}dz}[/mm]
>
> lösen will gehe ich dann wie folgt vor:
>
> setze f(z)= [mm]\bruch{e^{1-z}}{(1-z)}[/mm]
>
> dann ist f(z) analytisch in dem Gebiet da die
> Singularitäten von f ausserhalb liegen.
>
> da [mm]z^3[/mm] ein 3facher Pol ist, muss ich f(z) 2 mal Ableiten
> und dann
>
> [mm]2\pi i\bruch{f^{(2)}}{2!}[/mm] bilden. Da kommt dann [mm]-\pi[/mm] i*e
Du meinst wohl $ [mm] 2\pi i\bruch{f^{(2)}}{2!}(0) [/mm] $ ??
> heraus. Das Minuszeichen ist aber laut der Lösung falsch.
> Was mache ich immer mit dem Vorzeichen falsch?
Das kann ich nicht wissen, solange ich DEine Rechnung nicht sehe.
FRED
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> Sei K = [mm]\partial B_{0,5}(1).[/mm] Nach der Cauchyschen Formel:
>
> [mm]f(1) = \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{K}^{}{\bruch{f(w)}{w-1}dw} = \bruch{1}{2 \pi i}\integral_{K}^{}{\bruch{e^{1-w}}{w^3(w-1)}dw} = -\bruch{1}{2 \pi i}\integral_{K}^{}{\bruch{e^{1-w}}{w^3(1-w)}dw}[/mm]
>
> Siehst Du jetzt woher das "-" kommt ?
>
Ja jetzt sehe ich meinen Fehler. Nun kommt es auch mit den Vorzeichen hin. Vielen Dank für deine Bemühungen.
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