Cauchyprodukt konv. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 29.11.2008 | | Autor: | nerg |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_k)k\in\IN\sub [/mm] die Folge mit den Gliedern
[mm] a_k:=(-1)^{k-1}\bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] für alle k aus N
Zeigen sie, dass die Reihe [mm] \summe_{}^{}a_k [/mm] zwar konvergiert, aber nicht absolut konvergent ist. Desweiteren zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt dieser Reihe mit sich selbst diviergiert. |
[mm] (a_k) [/mm] ist eine Leibnitzfolge. [mm] -1^{k-1} [/mm] anstatt [mm] -1^k [/mm] ist vernächlässigungswert, da die Monotonie (fallend, steigend) der Teilfolgen [mm] (a_{2n}) [/mm] und [mm] (a_{2n-1}) [/mm] dadurch vertauscht wird - ohne Auswirkungen auf mögliche Konvergenz.
[mm] a_k:=(-1)^{k-1}*b_k
[/mm]
[mm] b_k=\bruch{1}{\wurzel{k}} \to [/mm] 0 weil [mm] \bruch{1}{k} \to [/mm] 0 weil:
[mm] b_1>b_2>... >b_k [/mm] .... [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{1}}>\bruch{1}{\wurzel{2}}>... >\bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] ... (monoton fallend) [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \wurzel{1}<\wurzel{2}<... <\wurzel{k} [/mm] ... (monoton steigend)
Also konvergiert die alternierende Reihe nach dem Leibnitz'schen Konvergenzkritierum.
Die Reihe der Folge [mm] a_k [/mm] ist aber nicht absolut konvergent, weil:
[mm] \left|(a_k)\right|:=\summe_{}^{} \left| b_k*(-1)^{k+1} \right|=\summe_{}^{}1*b_k=\summe_{}^{}\bruch{1}{\wurzel{k}} \to \inf [/mm]
Beweis zur Unbeschränktheit:
Minorantenkriterium:
[mm] a_k \le x_k
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{k}} \le \bruch{1}{k} [/mm] für alle k aus N
Wir wissen, dass die Reihe zur Folge [mm] x_k [/mm] mit dem Wert x unbeschränkt divergent ist. Daraus folgt die Divergenz der Reihe zur Folge [mm] a_k. [/mm] Die Folgeglieder konvergieren jedoch gegen 0. Äh, kann man das so rum sagen?
Das Cauchyprodukt der Reihe [mm] (a_k)*(a_k)=(c_k)=\summe_{k=0}^{\inf}c_k
[/mm]
[mm] c_k=\summe_{j=0}^{k}a_k*a_{k-j}=\summe_{j=0}^{k}\bruch{-1^{j+1}}{\wurzel{j}}*\bruch{-1^{k-j+1}}{\wurzel{k-j}}=-1^{j+1}\summe_{j=0}^{k}\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j}}=-1^{j+1}\summe_{j=0}^{k}d_k
[/mm]
Wenden wir wieder das Leibnitzkriterium an:
[mm] d_k=\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j}}, [/mm] j fest aus N [mm] \to [/mm] 0
Wie könnte es jetzt weiter gehen?
Wo sind bisher Fehler?
Schlußsatz:
Mindestens eine der ursprünglichen Reihen des Produktes muß absolut konvergieren, damit das Cauchyprodukt konvergiert. Da [mm] (a_k) [/mm] nicht absolut konvergiert, ist das Produkt divergent.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Sa 29.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm](a_k)k\in\IN\sub[/mm] die Folge mit den Gliedern
> [mm]a_k:=(-1)^{k-1}\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] für alle k aus N
>
> Zeigen sie, dass die Reihe [mm]\summe_{}^{}a_k[/mm] zwar
> konvergiert, aber nicht absolut konvergent ist. Desweiteren
> zeigen Sie, dass das Cauchyprodukt dieser Reihe mit sich
> selbst diviergiert.
> [mm](a_k)[/mm] ist eine Leibnitzfolge.
Der Mann hiess Leibniz. Leibnitz ist jemand anderes.
> [mm]-1^{k-1}[/mm] anstatt [mm]-1^k[/mm] ist
> vernächlässigungswert, da die Monotonie (fallend, steigend)
> der Teilfolgen [mm](a_{2n})[/mm] und [mm](a_{2n-1})[/mm] dadurch vertauscht
> wird - ohne Auswirkungen auf mögliche Konvergenz.
>
> [mm]a_k:=(-1)^{k-1}*b_k[/mm]
>
> [mm]b_k=\bruch{1}{\wurzel{k}} \to[/mm] 0 weil [mm]\bruch{1}{k} \to[/mm] 0
> weil:
>
> [mm]b_1>b_2>... >b_k[/mm] .... [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{1}}>\bruch{1}{\wurzel{2}}>... >\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm]
> ... (monoton fallend) [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\wurzel{1}<\wurzel{2}<... <\wurzel{k}[/mm] ... (monoton
> steigend)
>
> Also konvergiert die alternierende Reihe nach dem
> Leibnitz'schen Konvergenzkritierum.
>
> Die Reihe der Folge [mm]a_k[/mm] ist aber nicht absolut konvergent,
> weil:
> [mm]\left|(a_k)\right|:=\summe_{}^{} \left| b_k*(-1)^{k+1} \right|=\summe_{}^{}1*b_k=\summe_{}^{}\bruch{1}{\wurzel{k}} \to \inf[/mm]
> Beweis zur Unbeschränktheit:
> Minorantenkriterium:
> [mm]a_k \le x_k[/mm]
Falschherum: Das Minorantenkriteirum lautet: wenn [mm]a_k \ge x_k[/mm] und [mm] $\summe x_k$ [/mm] divergiert, so divergiert [mm] $\summe a_k$.
[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}} \le \bruch{1}{k}[/mm] für
> alle k aus N
Es muss heissen: [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}} \red{\ge} \bruch{1}{k}[/mm].
> Wir wissen, dass die Reihe zur Folge [mm]x_k[/mm] mit dem Wert x
> unbeschränkt divergent ist. Daraus folgt die Divergenz der
> Reihe zur Folge [mm]a_k.[/mm] Die Folgeglieder konvergieren jedoch
> gegen 0. Äh, kann man das so rum sagen?
Die Folge [mm] $x_k$ [/mm] konvergiert gegen 0.
>
> Das Cauchyprodukt der Reihe
> [mm](a_k)*(a_k)=(c_k)=\summe_{k=0}^{\inf}c_k[/mm]
>
> [mm]c_k=\summe_{j=0}^{k}a_k*a_{k-j}=\summe_{j=0}^{k}\bruch{-1^{j+1}}{\wurzel{j}}*\bruch{-1^{k-j+1}}{\wurzel{k-j}}=-1^{j+1}\summe_{j=0}^{k}\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j}}=-1^{j+1}\summe_{j=0}^{k}d_k[/mm]
Du teilst da für j=0 durch 0! Deine Summationsindizes sind nach Voraussetzung alle größer als 0.
Also muss der erste Term des Cauchyprodukts [mm] $a_1*a_1$ [/mm] sein:
[mm] c_k = \summe_{j=1}^{k}a_k*a_{k-j+1} [/mm], [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
> Wenden wir wieder das Leibnitzkriterium an:
>
> [mm]d_k=\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j}},[/mm] j fest aus N [mm]\to[/mm] 0
Das Leibnizkriterium musst du auf [mm] $c_k$ [/mm] anwenden, nicht auf [mm] $d_k$.
[/mm]
> Wie könnte es jetzt weiter gehen?
[mm] $d_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j+1}} \ge \bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k}} \ge \bruch{1}{k} [/mm] $, da [mm] 1\le j\le [/mm] k.
Daher ist
[mm] |c_k| = \summe_{j=1}^{k}d_k \ge \summe_{j=1}^{k}\bruch{1}{k} = 1[/mm]
>
> Wo sind bisher Fehler?
>
> Schlußsatz:
> Mindestens eine der ursprünglichen Reihen des Produktes
> muß absolut konvergieren, damit das Cauchyprodukt
> konvergiert.
Das kannst du nicht folgern. Die Umkehrung ist richtig: wenn eine der beiden Reihen konvergiert, so onvergiert das Cauchyprodukt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Do 04.12.2008 | | Autor: | nerg |
Super, danke für die Antwort!
Aber eines raffe ich jetzt nicht. Sollte es nicht eher heißen:
[mm] d_{k}=\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j}} \ge \bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k}} \ge \bruch{1}{k} [/mm] $, da [mm] 1\le j\le [/mm] k.
Und dann folgt ja daraus, dass die Reihe zu dk absolut divergiert, ebenso wie die harmonische Reihe.
Mist, habe noch einen Fehler korrigiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 07.12.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aber eines raffe ich jetzt nicht. Sollte es nicht eher
> heißen:
> [mm]d_{k}=\bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k-j}} \ge \bruch{1}{\wurzel{j}*\wurzel{k}} \ge \bruch{1}{k}[/mm]
> $, da [mm]1\le j\le[/mm] k.
Da würdest du für j=k wieder durch 0 teilen.
> Und dann folgt ja daraus, dass die Reihe zu dk absolut
> divergiert, ebenso wie die harmonische Reihe.
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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