Cauchyprodukt der Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien [mm] \sum_{k=0} ^\infty a_k, \sum_{k=0} ^\infty b_k, [/mm] aboslut konvergent dann ist auch das Cauchyprodukt absolutkonvergent. |
Beweis: der Vorlesung
[mm] \sum_{l=M+1}^N |c_n|
[/mm]
> Wieso wählt man genau l=M+1?
[mm] \sum_{l=M+1}^N |c_n| \le \sum_{n=M+1}^N \sum_{m=0}^n |a_mb_{n-m}|
[/mm]
> Welchen Körper in dre Zeichung enstprechen die Terme?
[mm] \le \sum_{k=0}^N \sum_{l=0}^N |a_k b_l [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{M/2} \sum_{l=0}^{M/2} |a_k [/mm] * [mm] b_l|
[/mm]
> Abschätzung ist nicht ganz klar, entsprich dies dem schwarz-umrandeten Körper in der zeichnung?
= [mm] \sum_{k=0}^N |a_k| [/mm] * [mm] \sum_{l=0} |b_l| [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{M/2} |a_k|* \sum_{l=0}^{M/2} |b_l| [/mm] = [mm] (\sum_{k=0}^N |a_k| [/mm] - [mm] \sum_{k=0}^{M/2} |a_k| [/mm] ) * [mm] \sum_{l=0}^N |b_l| [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^{M/2} |a_k| *(\sum_{l=0}^{N} |b_l| [/mm] - [mm] \sum_{l=0}^{M/2} |b_l|
[/mm]
[mm] \le \sum_{k=M/2 + 1}^N |a_k| [/mm] * [mm] \sum_{l=0}^\infty |b_l| [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^\infty |a_k| [/mm] * [mm] \sum_{l=M/2+1}^N |b_l| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
> Frage: warum weiß ich am schluss, dass dies kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist?
Ich weiß doch nur, dass die SUmmen die gegen unendlich gehen konvergieren.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 29.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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