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| Aufgabe | | Cauchyprodukt herleiten für unendliche Summen |
Wie ich es verstanden habe in der Vorlesung:
Das Produkt von endlichen Summen ist:
[mm] \sum_{k=0}^N a_k [/mm] und [mm] \sum_{l=0}^N b_l
[/mm]
Dargestellt haben wir dies in einen Koordinantensystem mit x-achse=k und y-achse=l wobei die einzelnen Spalten des Rechtecks bzw Quadrats abgegangen werden.
Bei unendlichen Summe (N -> [mm] \infty) [/mm] Ist man unendlichlange an einer Spalte und kommt nicht zur nächsten. Deshalb braucht man ein anderes Ordnungssystem, die Diagonalmethode.Jede Diagonale bekommt eine Nummer.
Der Beweis steht in meinen Skriptum ist mir aber etwas suspekt!
[mm] Q_N [/mm] := [mm] \{(k,l) \in \IN^2: k \le N, l \le N\} [/mm] und [mm] \Delta_N :=\{(k,l)\in Q_N : k+l \le N\}
[/mm]
> [mm] Q_N [/mm] sind die Diagonalen von N bis [mm] \infty [/mm] und [mm] \Delta_N [/mm] sind die Diagonalen bis N
Die Doppelsumme kann geschrieben werden als:
[mm] \sum_{k=0}^N a_k*\sum_{l=0}^N b_l [/mm] = [mm] \sum_{(k,l)\in Q_N} a_k,b_l [/mm] = [mm] \sum_{(k,l)\in \Delta_N } a_k b_l [/mm] + [mm] \sum_{(k,l)\in Q_Nohne \Delta_N} a_k b_l
[/mm]
> soweit noch klar aber dann nicht mehr
= [mm] \sum_{n=0}^N \sum_{(k,l)\in \Delta_N , k+l=n } a_k b_l +\sum_{(k,l)\in Q_Nohne \Delta_N}a_k b_l [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} +\sum_{(k, l)\in Q_N ohne \Delta_N}a_kb_l
[/mm]
> mhm??
Ich verlinke mal das Skript, wenn das okay ist für die Skzizze:
![[]](/images/popup.gif) http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf (S.47)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 So 26.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Cauchyprodukt herleiten für unendliche Summen
meines Wissens nach wird das Cauchyprodukt definiert. Man kann es sicher motivieren, aber "herleiten"?
> Wie ich es verstanden habe in der Vorlesung:
> Das Produkt von endlichen Summen ist:
> [mm]\sum_{k=0}^N a_k[/mm] und [mm]\sum_{l=0}^N b_l[/mm]
> Dargestellt haben
> wir dies in einen Koordinantensystem mit x-achse=k und
> y-achse=l wobei die einzelnen Spalten des Rechtecks bzw
> Quadrats abgegangen werden.
> Bei unendlichen Summe (N -> [mm]\infty)[/mm] Ist man unendlichlange
> an einer Spalte und kommt nicht zur nächsten. Deshalb
> braucht man ein anderes Ordnungssystem, die
> Diagonalmethode.Jede Diagonale bekommt eine Nummer.
>
> Der Beweis steht in meinen Skriptum ist mir aber etwas
> suspekt!
> [mm]Q_N[/mm] := [mm]\{(k,l) \in \IN^2: k \le N, l \le N\}[/mm] und [mm]\Delta_N :=\{(k,l)\in Q_N : k+l \le N\}[/mm]
>
> > [mm]Q_N[/mm] sind die Diagonalen von N bis [mm]\infty[/mm]
?? Vielleicht klärt sich schon alles,wenn wir hier beginnen:
Mach' Dir doch mal ein Beispiel, sei etwa [mm] $N=4\,:$
[/mm]
Dann ist
[mm] $$Q_N=Q_4=\{(k,l) \in \IN^2: k \le 4, l \le 4\}=\{(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}\,.$$
[/mm]
Ich sehe hier "diskrete Punkte eines Quadrates mit "Eckpunkten" (0,0), (4,0),(4,4),(0,4)."
> und [mm]\Delta_N[/mm] sind
> die Diagonalen bis N
Ich sehe da eher "diskrete Punkte eines gewissen Dreiecks" (im Skript ist das doch schön schraffiert!) - also: Mach' Dir mal ein Beispiel, wenn Dir das nicht direkt klar ist!
> Die Doppelsumme kann geschrieben werden als:
> [mm]\sum_{k=0}^N a_k*\sum_{l=0}^N b_l[/mm] = [mm]\sum_{(k,l)\in Q_N} a_k,b_l[/mm]
> = [mm]\sum_{(k,l)\in \Delta_N } a_k b_l[/mm] + [mm]\sum_{(k,l)\in Q_Nohne \Delta_N} a_k b_l[/mm]
>
> > soweit noch klar aber dann nicht mehr
> = [mm]\sum_{n=0}^N \sum_{(k,l)\in \Delta_N , k+l=n } a_k b_l +\sum_{(k,l)\in Q_Nohne \Delta_N}a_k b_l[/mm]
> = [mm]\sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} +\sum_{(k, l)\in Q_N ohne \Delta_N}a_kb_l[/mm]
>
> > mhm??
>
> Ich verlinke mal das Skript, wenn das okay ist für die
> Skzizze:
>
> http://homepage.univie.ac.at/christian.schmeiser/einfanalysis.pdf
> (S.47)
Wie gesagt: Mach' Dir klar, was [mm] $Q_N$ [/mm] und [mm] $\Delta_N$ [/mm] wirklich sind. Wenn dann immer noch Verständnisprobleme vorhanden sind, schauen wir nochmal weiter!
P.S.:
Q [mm] $\hat=$ [/mm] Quadrat
[mm] $\Delta$ $\hat=$ [/mm] Dreieck 
Gruß,
Marcel
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Okay danke, dass hätte sich mal erklärt.
Aber trotzdem verstehe ich nicht:
[mm] \sum_{(k,l)\in \Delta_N } a_k b_l [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^N \sum_{(k,l)\in \Delta_N , k+l=n } a_k b_l [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} [/mm]
Könntest du mir das auch noch erklären? ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay danke, dass hätte sich mal erklärt.
>
> Aber trotzdem verstehe ich nicht:
> [mm]\sum_{(k,l)\in \Delta_N } a_k b_l[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^N \sum_{(k,l)\in \Delta_N , k+l=n } a_k b_l[/mm]
> = [mm]\sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}[/mm]
>
> Könntest du mir das auch noch erklären? ;)
klar:
Eigentlich kann man sich das schön so klarmachen (dabei sind [mm] $k,l,n,N\,$ [/mm] stets [mm] $\in \IN_0$!):
[/mm]
[mm] $$(\star)\;\;\Delta_N=\bigcup_{\substack{0 \le l \le N\\0 \le k \le N\\k+l \le N}}\{(k,l)\}=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{0 \le k \le n\\0 \le l \le N\\k+l \le N}}\{(k,l)\}=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{k=0\\0 \le l \le n-k}}^n\{(k,l)\}=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{k=0}}^n\{(k,l): 0 \le l \text{ und }l \le n-k\}=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{k=0}^n \{k,n-k\}\,,$$
[/mm]
wobei die letzte Vereinigung disjunkt ist.
Man kann aber auch einfach erstmal
[mm] $$\Delta_N=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{k=0}^n \{k,n-k\}$$
[/mm]
behaupten, und das dann beweisen, indem man [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$ [/mm] beweist!
Was steht denn da eigentlich?
Naja, sowas:
[mm] $$\Delta_N$$
[/mm]
hat doch die Form
[mm] $$\pmat{(0,N)
\\
(0,N-1) & (1,N-1)
\\
.
\\
.
\\
.
\\\green{(0,2)} & (1,2) & (2,2) & ... & (N-2,2)
\\\blue{(0,1)} & \green{(1,1)} & (2,1) & ... & ... & (N-1,1)
\\\red{(0,0)} & \blue{(1,0)} & \green{(2,0)} & ... & ... & ... & (N,0)}$$
[/mm]
Und rechterhand steht da ja:
[mm] $$\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{k=0}^n \{k,n-k\}\,,$$
[/mm]
und nun guck' mal:
Die "rote Diagonale" erhältst Du für [mm] $\red{n=0}:$ [/mm]
[mm] $$\bigcup_{k=0}^\red{0} \{(k,\red{0}-k)\}=\{(0,0)\}\,,$$
[/mm]
die "blaue Diagonale" für [mm] $\blue{n=1}:$ [/mm]
[mm] $$\bigcup_{k=0}^\blue{1} \{(k,\blue{1}-k)\}=\{(0,\blue{1}-0),(1,\blue{1}-1)\}=\{(0,1),(1,0)\}\,,$$
[/mm]
die "grüne Diagonale" für [mm] $\green{n=2}:$ [/mm]
[mm] $$\bigcup_{k=0}^\green{2} \{(k,\green{2}-k)\}=\{(0,\green{2}-0),(1,\green{2}-1),(2,\green{2}-2)\}=\{(0,2),(1,1),(2,0)\}\,,$$
[/mm]
etc. pp.
Die "Diagonalen" beginnen stets "oben links (mit $k=0$)" und enden "unten rechts" (bei [mm] $n-k=0\,$).
[/mm]
P.S.: Ich hoffe, dass ich in [mm] $(\star)$ [/mm] keinen Umformungsfehler gemacht habe - ggf. kontrolliere alle Mengengleichheiten. Aber eigentlich reicht es, wenn Du das letzte hier verstanden hast:
[mm] $$\Delta_N=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{k=0}^n \{k,n-k\}\,,$$
[/mm]
wobei die Vereinigungen rechterhand disjunkt sind!
Gruß
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ah, okay das Prinzip hab ich jetzt kapiert.
Aber Wie geht diese Umformung hier:
[mm] \bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{0 \le k \le n\\0 \le l \le N\\k+l \le N}}\{(k,l)\}=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{k=0\\0 \le l \le n-k}}^n\{(k,l)\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mo 27.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ah, okay das Prinzip hab ich jetzt kapiert.
> Aber Wie geht diese Umformung hier:
> [mm]\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{0 \le k \le n\\0 \le l \le N\\k+l \le N}}\{(k,l)\}=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{k=0\\0 \le l \le n-k}}^n\{(k,l)\}[/mm]
>
naja, das habe ich einfach mal schnell so überlegt:
Wenn man alle natürlichen [mm] $k\,$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n$ erwischen will, läßt man [mm] $k\,$ [/mm] halt von [mm] $0\,$ [/mm] bis [mm] $n\,$ [/mm] laufen.
Und wenn $k [mm] \le [/mm] n$ ist, ist nicht nur $k+l [mm] \le N\,,$ [/mm] sondern sogar auch $k+l [mm] \le n\,$ [/mm] - schließlich will man ja $0 [mm] \le [/mm] l$ als natürliche Zahl haben.
Wenn man sich unsicher ist, ob man da nicht doch etwas vergessen hat, dann machst Du es halt so, wie Du es immer tust, wenn Du
[mm] $$X=Y\,$$
[/mm]
für zwei Mengen [mm] $X\,$ [/mm] und [mm] $Y\,$ [/mm] zu zeigen hast:
Du zeigst halt $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ und $Y [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Oben halt mit
[mm] $$X:=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{0 \le k \le n\\0 \le l \le N\\k+l \le N}}\{(k,l)\}$$
[/mm]
und
[mm] $$Y:=\bigcup_{n=0}^N \bigcup_{\substack{k=0\\0 \le l \le n-k}}^n\{(k,l)\}\,.$$
[/mm]
Wie gesagt: Das ist auch nicht der Weißheit letzter Schluß - vor allem kontrolliere mal, ob ich da nicht doch was falsches hingeschrieben habe (ich glaube es nicht, passieren kann es aber schon, vor allem, da es nur "überlegungsmäßig ein Schnellschuß" war, und ich das nicht nochmal selbst für mich bewiesen habe, dass das auch stimmt!).
Gruß,
Marcel
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