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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion F durch F(z) := [mm] \bruch{1}{2\pi i} \integral_{|\delta -i +1| = 1}{\bruch{e^{-\delta}}{\delta(\delta -z )^3}d\delta} [/mm] für z [mm] \in \IC [/mm]
mit |z -i +1| < 1. Mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel berechne man F'. |
Kann mir evtl. jemand einen Tipp geben wie genau ich bei dieser Aufgabe ansetzten muss? Wenn ich mich nicht Irre muss ich doch versuchen das ganze auf die Form
[mm] f^{(n)}(z) [/mm] = [mm] \bruch{n!}{2\pi i} \integral_{\Gamma}{\bruch{f(w)}{(w - z)^{n+1}}dw} [/mm] bringen. Nur weiß ich leider nicht wie.
Vielen Dank für Eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mo 14.05.2007 | | Autor: | wauwau |
Du hast ja schon [mm]f^{(n)}(z)[/mm] = [mm]\bruch{n!}{2\pi i} \integral_{\Gamma}{\bruch{f(w)}{(w - z)^{n+1}}dw}[/mm] erwähnt, daher für n=2
ist
F(z) := [mm]\bruch{1}{2\pi i} \integral_{|\delta -i +1| = 1}{\bruch{e^{-\delta}}{\delta(\delta -z )^3}d\delta}[/mm] = [mm] \bruch{2!}{2\pi i} \integral_{|\delta -i +1| = 1}{\bruch{e^{-\delta}}{2\delta(\delta -z )^{2+1}}d\delta} [/mm] = G''(z) mit [mm] G(z)=\bruch{e^{-z}}{2z}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] F'(z)=G'''(z)=(\bruch{e^{-z}}{2z})''' [/mm] was du nun einfach ausrechnen kannst...
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