Cauchy Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:46 Fr 15.07.2011 | | Autor: | gaissi |
| Aufgabe | Zeigen sie folgende Identität:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(k+1)(k+2)}{2}z^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-z)^{3}} [/mm] für alle [mm] z\in\IC, [/mm] |z|<1 |
Ich habe ein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe.
Ich zerlege zunächst [mm] \bruch{1}{(1-z)^{3}} [/mm] in [mm] \bruch{1}{(1-z)^{2}}\bruch{1}{1-z}.
[/mm]
Dies soll nun gleich [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(k+1)z^{k}\summe_{i=0}^{\infty}z^{k}
[/mm]
Genau hier liegt das Problem. Mir ist klar das [mm] \bruch{1}{1-z} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}z^{k} [/mm] sein soll, jedoch verstehe ich nicht warum [mm] \bruch{1}{(1-z)^{2}} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(k+1)z^{k} [/mm] sein soll, da sich [mm] \bruch{1}{(1-z)^{2}} [/mm] doch nochmals in [mm] \bruch{1}{1-z}\bruch{1}{1-z} [/mm] zerlegen könnte. Das Cuchyprodukt von [mm] \bruch{1}{1-z} \bruch{1}{1-z} [/mm] wäre jedoch (oder ist das falsch?) [mm] \summe_{i=0}^{n} z^{k} z^{n-k} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} z^{n}.
[/mm]
Würde mich freuen wenn mir jmd bei meinem Problem helfen könnte...
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Fr 15.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen sie folgende Identität:
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}\bruch{(k+1)(k+2)}{2}z^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^{3}}[/mm] für alle [mm]z\in\IC,[/mm] |z|<1
> Ich habe ein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe.
> Ich zerlege zunächst [mm]\bruch{1}{(1-z)^{3}}[/mm] in
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^{2}}\bruch{1}{1-z}.[/mm]
> Dies soll nun gleich
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)z^{k}\summe_{i=0}^{\infty}z^{k}[/mm]
>
> Genau hier liegt das Problem. Mir ist klar das
> [mm]\bruch{1}{1-z}[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{\infty}z^{k}[/mm] sein soll,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jedoch verstehe ich nicht warum [mm]\bruch{1}{(1-z)^{2}}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}(k+1)z^{k}[/mm] sein soll, da sich
> [mm]\bruch{1}{(1-z)^{2}}[/mm] doch nochmals in
> [mm]\bruch{1}{1-z}\bruch{1}{1-z}[/mm] zerlegen könnte. Das
> Cuchyprodukt von [mm]\bruch{1}{1-z} \bruch{1}{1-z}[/mm] wäre jedoch
> (oder ist das falsch?) [mm]\summe_{i=0}^{n} z^{k} z^{n-k}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} z^{n}.[/mm]
Du hast das Cauchy-Produkt falsch ausgerechnet: [mm] $\sum_{i=0}^n z^k z^{n-k}$ [/mm] ist der $n$-te Summand der Produkt-Reihe. Das Produkt ist also [mm] $\sum_{n=0}^\infty \sum_{i=0}^n z^k z^{n-k}$.
[/mm]
Das [mm] $\sum_{i=0}^n z^n$ [/mm] ist uebrigens gleich $(n + 1) [mm] z^n$. [/mm] Setz das jetzt mal in das "richtige" Cauchy-Produkt ein.
(Wenn du weisst, wie man Potenzreihen ableitet, kannst du die Aufgabe uebrigens viel einfacher loesen.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 Fr 15.07.2011 | | Autor: | gaissi |
OK vielen Dank, dann hat sich mein Problem gelöst, danke für die schnelle Antwort...
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