Cauchy Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:38 Do 04.11.2004 | | Autor: | steelscout |
Hi ihrs,
dieses mal soll ich mittels Cauchyschem Konvergenzkriterium die Konvergenz der Folge [mm] x_{n}=1+ \bruch{1}{2²} +\bruch{1}{3²}+...+\bruch{1}{n²} [/mm] nachweisen, und ich häng mal wieder quasi mittendrin fest:
Also in Kurzform:
... | [mm] x_{n} [/mm] - [mm] x_{m}|<\varepsilon, [/mm] dann setz ich m:=2n
| [mm] x_{n} [/mm] - [mm] x_{2n}|<\varepsilon, [/mm] d.h
|(1+ [mm] \bruch{1}{2²} +\bruch{1}{3²}+...+\bruch{1}{n²})-(1+ \bruch{1}{2²} +\bruch{1}{3²}+...+\bruch{1}{(2n)²})|<\varepsilon
[/mm]
Dabei bleiben nun "nur" übrig:
[mm] \bruch{1}{(n+1)²} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+2)²} [/mm] +...+ [mm] \bruch{1}{(n+n)²}
[/mm]
Soweit sollte der Weg eigentlich der richtige sein.
Für scheinbar ganz begriffstutzige (wie mich) steht noch als Hinweis in der Aufgabe, dass [mm] \bruch{1}{(n+1)²} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1}.
[/mm]
Da ich diesen Ausdruck [mm] (\bruch{1}{(n+1)²}) [/mm] erzeugt hab müsst ich also auf dem richtigen Weg sein, nur weiß ich nicht wie ich fortfahren soll. Ich kann jetzt zwar den einen Ausdruck abschätzen, aber wie sieht es mit den anderen Glieder bzw. der Gesamtsumme aus?
danke für eure aufmerksamkeit
mfg steele
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Hallo steelscout,
> Also in Kurzform:
> ... | [mm]x_{n}[/mm] - [mm]x_{m}|<\varepsilon,[/mm] dann setz ich m:=2n
Das darfst du so einfach machen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> | [mm]x_{n}[/mm] - [mm]x_{2n}|<\varepsilon,[/mm] d.h
> |(1+ [mm]\bruch{1}{2²} +\bruch{1}{3²}+...+\bruch{1}{n²})-(1+ \bruch{1}{2²} +\bruch{1}{3²}+...+\bruch{1}{(2n)²})|<\varepsilon
[/mm]
>
> Dabei bleiben nun "nur" übrig:
> [mm]\bruch{1}{(n+1)²}[/mm] + [mm]\bruch{1}{(n+2)²}[/mm] +...+
> [mm]\bruch{1}{(n+n)²}
[/mm]
> Soweit sollte der Weg eigentlich der richtige sein.
Damit stimme ich auch überein nur halt m stat 2n(bzw. n+n) sollte da stehen.
> Für scheinbar ganz begriffstutzige (wie mich) steht noch
> als Hinweis in der Aufgabe, dass [mm]\bruch{1}{(n+1)²}[/mm] <
> [mm]\bruch{1}{n(n+1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n+1}.
[/mm]
> Da ich diesen Ausdruck [mm](\bruch{1}{(n+1)²})[/mm] erzeugt hab
> müsst ich also auf dem richtigen Weg sein,
Verwendung des Hinweises:
[mm]\bruch{1}{(n+1)²} < \bruch{1}{n(n+1)} = \bruch{1}{n} - \bruch{1}{n+1}[/mm].
Wenn ich für n n+1 einsetzte
[mm]\bruch{1}{((n+1)+1)²} < \bruch{1}{(n+1)(n+2)} = \bruch{1}{n+1} - \bruch{1}{n+2}[/mm].
Kannst du diesen hinweis für deine Summe jetzt verwenden?
gruß
mathemaduenn
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Tut mir leid, aber ich schau immernoch nicht durch.
Wenn ich jetzt die "kleinere Folge" richtig aufstelle, müssten sich ja die meisten Ausdrücke wegheben, da z.b auf [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] dann eben [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+2} [/mm] addiert werden würde, wodurch sich [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] rausheben müsste und das müsste dann ja so weitergehen, bis man am ende nur hat
"< [mm] \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n+n} [/mm] oder?
Aber irgendwie seh ich nich durch worauf das im Endeffekt hinauslaufen soll, was mir zur Zeit bei vielen Aufgaben schwerfällt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo steelscout!
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebige vorgegeben und [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n_0 [/mm] > [mm] \frac{1}{\varepsilon}$.
[/mm]
Dann gilt für alle $n >m [mm] \ge n_0$:
[/mm]
[mm] $|x_n [/mm] - [mm] x_m|$
[/mm]
$= [mm] x_n [/mm] - [mm] x_m$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2}$
[/mm]
$< [mm] \sum\limits_{i=m+1}^n \left( \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i} \right)$
[/mm]
(nach dem Hinweis von mathemaduenn)
$= [mm] \frac{1}{m} [/mm] - [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
$< [mm] \frac{1}{m}$
[/mm]
[mm] $\le \frac{1}{n_0}$
[/mm]
$< [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Damit ist alles gezeigt.
Liebe Grüße
Julius
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Danke euch. Nur noch - zur Sicherheit - ne Nachfrage
>
> [mm]= \sum\limits_{i=m+1}^n \frac{1}{i^2}[/mm]
>
> [mm]= \sum\limits_{i=m+1}^n \left( \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i} \right)[/mm]
Müsste die zweite Summe noch kleiner sein als die erste, da ja [mm] \frac{1}{(n+1)^{2}}>\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/mm] , oder?
Ansonsten bleibt nur noch die Frage, warum in [mm]= \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n²}[/mm] konvergiert, während in einer Vorlesung bewiesen wurde, dass[mm]= \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n}[/mm] nach Cauchyschem Konv.-Krit. jedoch nicht konvergiert.
Oder ist ein Rückschluss vom einen aufs andere hier nicht möglich?
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