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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Mi 13.04.2011 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{|z-e|=\pi}{\bruch{(sin z - cos z)*e^{z^{2}}}{16z^2-\pi^2}} [/mm] |
Guten Abend.
Ich wollte nur nochmal sichergehen, dass ich richtig an die Sache herangehe.
Zunächst möchte die Polstellen bestimmen.
Wenn ich die binomische Formel anwende, erhalte ich im Nenner [mm] (z+\pi)*(z-\pi). [/mm] Also gibt es Polstellen bei [mm] \pm \pi. [/mm] Nun muss ich gucken, ob diese auch im Kreis liegen. Das tun sie nur für [mm] +\pi, [/mm] da der Kreis um den Mittelpunkt e geht und den Radius [mm] \pi [/mm] hat. Nun forme ich das auf die entsprechende Form um :
[mm] \bruch{(sin z - cos z)*e^{z^{2}}}{\bruch{16(z+\pi)}{(z-\pi)}}
[/mm]
Und kriege dann = [mm] 2\pi*f(a)=\bruch{-i*e^{\pi^{2}}}{16}
[/mm]
Und bei mehreren Polstellen innerhalb des Gebietes berechne ich einfache alle einzeln und addiere sie dann am Ende, korrekt?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Mi 13.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie
> [mm]\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{|z-e|=\pi}{\bruch{(sin z - cos z)*e^{z^{2}}}{16z^2-\pi^2}}[/mm]
>
> Guten Abend.
> Ich wollte nur nochmal sichergehen, dass ich richtig an
> die Sache herangehe.
> Zunächst möchte die Polstellen bestimmen.
> Wenn ich die binomische Formel anwende, erhalte ich im
> Nenner [mm](z+\pi)*(z-\pi).[/mm] Also gibt es Polstellen bei [mm]\pm \pi.[/mm]
So wie du das Integral hingeschrieben ast, stimmt das nicht, da sind die Polstellen [mm] $\pm\bruch{\pi}{4}$. [/mm] Deswegen nehme ich an, das Integral soll
[mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z-e|=\pi}{\bruch{(\sin z -\cos z)*e^{z^{2}}}{16(z^2-\pi^2)}}[/mm]
lauten
> Nun muss ich gucken, ob diese auch im Kreis liegen. Das tun
> sie nur für [mm]+\pi,[/mm] da der Kreis um den Mittelpunkt e geht
> und den Radius [mm]\pi[/mm] hat. Nun forme ich das auf die
> entsprechende Form um :
> [mm]\bruch{(sin z - cos z)*e^{z^{2}}}{\bruch{16(z+\pi)}{(z-\pi)}}[/mm]
Auch hier nehme ich an, du hast das nur falsch aufgeschrieben:
[mm] \bruch{\quad\displaystyle\bruch{(\sin z - \cos z)*e^{z^{2}}}{16(z+\pi)}\quad}{ \displaystyle z-\pi\vphantom{(}} [/mm]
>
> Und kriege dann = [mm]2\pi*f(a)=\bruch{-i*e^{\pi^{2}}}{16}[/mm]
Falsches Vorzeichen:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{|z-e|=\pi}{\bruch{(\sin z -\cos z)*e^{z^{2}}}{16(z^2-\pi^2)}}=\left.\bruch{(\sin z - \cos z)*e^{z^{2}}}{16(z+\pi)}\right|_{z=\pi} = \bruch{e^{\pi^{2}}}{32\pi} [/mm],
> Und bei mehreren Polstellen innerhalb des Gebietes berechne
> ich einfache alle einzeln und addiere sie dann am Ende,
> korrekt?
Im Prinzip ja. Allerdings geht die Rechnung für Pole höherer Ordnung etwas anders, weil du entsprechend der Cauchyschen Integralformel noch ableiten musst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 13.04.2011 | | Autor: | flare |
Vielen Dank soweit.
Die Aufgabe lautet tatsächlich so wie ich sie aufgeschrieben habe. Ich habe sie bloß so gerechnet, wie du interpretiert hast. Hätte wohl so spät nichts mehr machen sollen :)
Wenn ich eine n-fache Polstelle habe mit n>1, kenn ich eigentlich nur den Residuensatz. Also:
[mm] c_{-1}=\limes_{z\rightarrow a}( \bruch{((z-a)^n*f(z))^{n-1}}{(n-1)!})=res [/mm] f an a.
Ist das mit ableiten gemeint oder gibt es was anderes?
Ich kann doch eigentlich statt den Cauchy-Satz immer die Residuuen ausrechnen oder?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:33 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank soweit.
> Die Aufgabe lautet tatsächlich so wie ich sie
> aufgeschrieben habe. Ich habe sie bloß so gerechnet, wie
> du interpretiert hast. Hätte wohl so spät nichts mehr
> machen sollen :)
>
> Wenn ich eine n-fache Polstelle habe mit n>1, kenn ich
> eigentlich nur den Residuensatz. Also:
> [mm]c_{-1}=\limes_{z\rightarrow a}( \bruch{((z-a)^n*f(z))^{n-1}}{(n-1)!})=res[/mm]
> f an a.
>
Wo hast Du denn das her. Das stimmt nicht. Die richtige Formel findest Du hier:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aussage/aussage919/
FRED
> Ist das mit ableiten gemeint oder gibt es was anderes?
> Ich kann doch eigentlich statt den Cauchy-Satz immer die
> Residuuen ausrechnen oder?
>
> Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:37 Mi 13.04.2011 | | Autor: | flare |
Eigentlich meinte ich auch
[mm] c_{-1}=\limes_{z\rightarrow a}( \bruch{((z-a)^n*f(z))^{(n-1)}}{(n-1)!})
[/mm]
Also schon dieselbe Formel.
Meine Frage bleibt weiterhin bestehen :)
Liebe Grüße
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Hallo flare,
> Eigentlich meinte ich auch
> [mm]c_{-1}=\limes_{z\rightarrow a}( \bruch{((z-a)^n*f(z))^{(n-1)}}{(n-1)!})[/mm]
Wenn Du mit dem Exponenten "(n-1)" folgendes meinst:
[mm]\bruch{((z-a)^n*f(z))^{(n-1)}}{(n-1)!} =\bruch{1}{\left(n-1\right)!}*\left(\bruch{d}{dz}\right)^{n-1}\left( \ \left(z-a\right)^{n}*f\left(z\right) \ \right)[/mm]
Dann ist das die richtige Formel.
>
> Also schon dieselbe Formel.
>
> Meine Frage bleibt weiterhin bestehen :)
Siehe hier: ![[]](/images/popup.gif) Cauchysche Integralformel
Gruss
MathePower
>
> Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 Mi 13.04.2011 | | Autor: | flare |
Danke, die allgemeine Cauchy-Formel hatte mir gefehlt.
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