Cauchy Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Di 11.05.2010 | | Autor: | Esra |
| Aufgabe | Sei (an) [mm] \in \IN [/mm] eine Folge mit |an − an+1| [mm] \le [/mm] 2 ^ −n für alle
n aus N. Zeigen Sie, dass (an) [mm] \in \IN [/mm] eine Cauchy-Folge ist. |
mir fallen keine ansätze ein. Das thema haben wir neu aufgenommen.
Bitte um vorschläge.
mfG
Esra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei n [mm] \in \IN.
[/mm]
[mm] $|a_n-a_{n+2}|= |a_n-a_{n+1}+a_{n+1}-a_{n+2}| \le |a_n-a_{n+1}|+|a_n-a_{n+2}| \le \bruch{1}{2^n}+\bruch{1}{2^{n+1}}= 1/2^n(1+1/2)$
[/mm]
Für k [mm] \in \IN [/mm] zeige induktiv:
[mm] $|a_n-a_{n+k+1}| \le 1/2^n(1+1/2+ ...+1/2^k)$
[/mm]
Mit der Summenformel für die endliche geometrische Reihe zeige dann:
[mm] $|a_n-a_{n+k+1}| \le \bruch{1}{2^{n+1}}$ [/mm] für k [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
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