Cauchy Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Es sein eine Folge [mm] (an)_{n\in\IN} [/mm] gegeben mit der folgenden Eigenschaft:
[mm] \exists [/mm] q [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < q < 1 : [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le q|a_{n} [/mm] - [mm] a_{n-1}| [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2.
Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert.
Hinweis.
Benutzen Sie an geeigneter Stelle die geometrische Summenformel [mm] \summe_{j=1}^{k} q^j [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{k+1}}{1-q} [/mm] , q [mm] \not=1 [/mm] |
Hallo,
hier hab ich überhaupt keine Idee...
Jemand evtl von euch?
Bin um jeden Hinweis und Ansatz dankbar...
Danke schonmal...
Viele Grüße
Bodo0686
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> Es sein eine Folge [mm](an)_{n\in\IN}[/mm] gegeben mit der folgenden
> Eigenschaft:
>
> [mm]\exists[/mm] q [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < q < 1 : [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q|a_{n}[/mm]
> - [mm]a_{n-1}|[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchy-Kriteriums, dass
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert.
>
> Hinweis.
>
> Benutzen Sie an geeigneter Stelle die geometrische
> Summenformel [mm]\summe_{j=1}^{k} q^j[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{k+1}}{1-q}[/mm]
> , q [mm]\not=1[/mm]
> Hallo,
>
> hier hab ich überhaupt keine Idee...
Hallo,
Du kannst ja zumindest schonmal feststellen, was es mit dem Cauchykriterium auf sich hat.
Was ist eine Cauchyfolge?
Was haben Folgen, Cauchyfolgen und Konvergenz miteinander zu tun?
Wenn Du das herausgefunden hast, wirst Du wissen, daß Du zeigen mußt, daß [mm] (a_n) [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Was mußt Du hierfür zeigen?
Des weiteren ist es lohnend, schonmal zu überlegen, ob man [mm] |a_{n+1}[/mm] [/mm] - [mm]a_{n}| vielleicht auch durch Faktor*|a_{2}[/mm] - [mm][mm] a_{1}| [/mm] nach oben abschätzen kann. (Man kann, sonst würde ich nicht so fragen).
Im weiteren Verlauf wird Dir die Dreiecksungleichung nützlich sein, und der Hinweis, aber da können wie später weitersehen, wenn Du das benötigte Material herbeigeschafft und eine Sichtung vorgenommen hast, sowie erste Lösungsansätze.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 03.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
So, ersteinmal das notwendigste...
Konvergenzbegriff:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in\IN \foralln\geN: |a_{n}-a|<\varepsilon
[/mm]
Eine Folge heißt Cauchy-Folge wenn:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in\IN \forall [/mm] m,n [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_{n}-a_{m}|<\varepsilon
[/mm]
Jede beschränkte Folge ist konvergent.
Wir könnten uns einen Faktor c [mm] \ge [/mm] 1 aussuchen
Damit: [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le c*q|a_{n}-a_{n-1}|
[/mm]
Sei nun n > N und m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}|=|a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1} [/mm] + [mm] a_{n+m-1} [/mm] -/+ ... + [mm] a_{n+1}-a_{n}| \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| [/mm] + [mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm]
[mm] \le c*q|a_{n}-a_{n-m}| [/mm] * ( [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+1} [/mm] + [mm] a_{n}-a_{n+2} [/mm] + .. + [mm] a_{n}-a_{n+m})
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher... fertig ist die Aufgabe auf jeden Fall noch nicht... ich muss doch auch noch ein [mm] \varepsilon [/mm] suchen, oder? dann muss ja auch noch gelten das eigentlich [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le c*q|a_{n}-a_{n-1}|, [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2 gilt. Außerdem muss da noch die geometrische Summenformel irgendwie rein.... aber ich weiß leider nicht wie ich das anstellen könnte...
Grüße
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> So, ersteinmal das notwendigste...
>
> Konvergenzbegriff:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN \foralln\geN: |a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
Genau. Das ist die Erkärung für [mm] (a_n) [/mm] konvergiert gegen a.
>
> Eine Folge heißt Cauchy-Folge wenn:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN \forall[/mm] m,n [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon[/mm]
In Worten: ab einem Schwellenindex rücken die Folgenglieder einer Cauchyfolge beliebig dicht zusammen.
Nun wissen wir aber immer noch nicht, was es mit "Cauchy" und Konvergenz auf sich hat. Wie ist das mit Cauchyfolgen in [mm] \IR? [/mm]
>
> Jede beschränkte Folge ist konvergent.
Das stimmt ü-ber-haupt nicht: (1,-1,1,-1,1,-1...) ist besczhränkt und nicht konvergent.
Richtig ist die umgekehrte Aussage: aus Konvergenz folgt Beschränktheit.
(Aber das brauchen wir hier nicht.)
>
>
> Wir könnten uns einen Faktor c [mm]\ge[/mm] 1 aussuchen
>
> Damit: [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le c*q|a_{n}-a_{n-1}|[/mm]
Nein, einen Faktor aussuchen können wir nicht.
Aber warum sollten wir auch? Wir haben ja bereits einen Faktor q vorgegeben. Der gehört zu unserer Grundausstattung für diese Aufgabe.
Nun willst Du zeigen, daß [mm] (a_n) [/mm] Cauchyfolge ist.
Sei [mm] \varepsilon> [/mm] 0, und sei N:=--- (Dieses N überlegen wir uns später und tragen es dann ein. So machen das alle bei ihren Beweisen. Der Student staunt dann in der Vorlesung und denkt: wieso fällt das vom Himmel? Es ist aber vorher insgeheim ausgerechnet/überlegt worden.)
>
> Sei nun n > N und m [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}|=|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}[/mm] + [mm]a_{n+m-1}[/mm] -/+ ...
> + [mm]a_{n+1}-a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] + [mm]|a_{n+m-1}[/mm] -
> [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
Bis hierher ist das sehr hübsch.
Nun müssen wir die Differenzen sinnvoll abschätzen.
Dazu machen wir eine Zwischenüberlegung.
Wie können wir z.B.
[mm] |a_5-a-4| [/mm] abschätzen?
Wir wissen
[mm] |a_5-a_4|\le q|a_4-a_3|\le q*q|a_3-a_2|\le q*q*q|a_2-a_1|=q^3|a_2-a_1|.
[/mm]
Veilleicht hast Du schon einen Verdacht, wodurch man [mm] |a_{k+1}-a_k| [/mm] abschätzen kann.
Falls ja, kannst Du das oben einsetzen. (Dieser Verdacht muß in einer Nebenrechnung per Induktion bewiesen werden, aber das können wir im Moment hintenanstellen, damit Dir nicht der Faden verloren geht.)
Falls Du noch nicht weißt, was herauskommt, schätze noch [mm] |a7-a_6| [/mm] und [mm] |a_1_1-a_1_0| [/mm] ab. Dann weißt Du's sicher.
Wie gesagt, da einsetzen, wo Deine Rechnung abbricht/abgebrochen wurde.
Siehst Du schon etwas, was an die geometrische Reihe erinnert?
Und nicht die Beantwortung der Frage nach Cauchy und Konvergenz vergessen!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 03.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> > So, ersteinmal das notwendigste...
> >
> > Konvergenzbegriff:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN \foralln\geN: |a_{n}-a|<\varepsilon[/mm]
>
> Genau. Das ist die Erkärung für [mm](a_n)[/mm] konvergiert gegen a.
>
> >
> > Eine Folge heißt Cauchy-Folge wenn:
> >
> > [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in\IN \forall[/mm] m,n [mm]\ge[/mm] N:
> > [mm]|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon[/mm]
>
> In Worten: ab einem Schwellenindex rücken die Folgenglieder
> einer Cauchyfolge beliebig dicht zusammen.
>
> Nun wissen wir aber immer noch nicht, was es mit "Cauchy"
> und Konvergenz auf sich hat. Wie ist das mit Cauchyfolgen
> in [mm]\IR?[/mm]
>
> >
> > Jede beschränkte Folge ist konvergent.
>
> Das stimmt ü-ber-haupt nicht: (1,-1,1,-1,1,-1...) ist
> besczhränkt und nicht konvergent.
>
> Richtig ist die umgekehrte Aussage: aus Konvergenz folgt
> Beschränktheit.
> (Aber das brauchen wir hier nicht.)
>
> >
> >
> > Wir könnten uns einen Faktor c [mm]\ge[/mm] 1 aussuchen
> >
> > Damit: [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le c*q|a_{n}-a_{n-1}|[/mm]
>
> Nein, einen Faktor aussuchen können wir nicht.
> Aber warum sollten wir auch? Wir haben ja bereits einen
> Faktor q vorgegeben. Der gehört zu unserer
> Grundausstattung für diese Aufgabe.
>
> Nun willst Du zeigen, daß [mm](a_n)[/mm] Cauchyfolge ist.
>
> Sei [mm]\varepsilon>[/mm] 0, und sei N:=--- (Dieses N überlegen wir
> uns später und tragen es dann ein. So machen das alle bei
> ihren Beweisen. Der Student staunt dann in der Vorlesung
> und denkt: wieso fällt das vom Himmel? Es ist aber vorher
> insgeheim ausgerechnet/überlegt worden.)
>
> >
> > Sei nun n > N und m [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}|=|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}[/mm] + [mm]a_{n+m-1}[/mm] -/+ ...
> > + [mm]a_{n+1}-a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] + [mm]|a_{n+m-1}[/mm] -
> > [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
>
> Bis hierher ist das sehr hübsch.
>
> Wir wissen
>
> [mm]|a_5-a_4|\le q|a_4-a_3|\le q*q|a_3-a_2|\le q*q*q|a_2-a_1|=q^3|a_2-a_1|.[/mm]
>
> Veilleicht hast Du schon einen Verdacht, wodurch man
> [mm]|a_{k+1}-a_k|[/mm] abschätzen kann.
>
Hi...
Cauchysches Konvergenzkriterium:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN, \foralln,m \ge [/mm] N, n [mm] \ge [/mm] m :| [mm] \summe_{k=m}^{n}{a_{k}}|< \varepsilon. [/mm]
Jede Cauchy Folge ist beschränkt!
also ich weiß ja das [mm] q^k [/mm] die geometrische Reihe ist... (Verweis auf dein Bsp. [mm] q^3|a_{2}-a_{1}|
[/mm]
Geom. Summenf.
Allgemein: [mm] \summe_{k=0}^{m} (q^k) [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{m+1}}{1-q}
[/mm]
Evtl auf unsere Aufgabe [mm] \summe_{k=0}^{m-1} (q^k) [/mm] = [mm] \bruch{1-q^m}{1-q} [/mm] ???
Demnach [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}|=|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}[/mm] + [mm]a_{n+m-1}[/mm] -/+ ...
+ [mm]a_{n+1}-a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] + [mm]|a_{n+m-1}[/mm] -
[mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
[mm] \le q^{n+m-1} [/mm] + [mm] q^{n+m-2} [/mm] + ... + [mm] q^n [/mm] = [mm] q^n (q^{m-1} [/mm] + [mm] q^{m-2}+...+q+1) [/mm] =
[mm] q^n \bruch{1-q^m}{1-q} [/mm] ...????
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> > > Sei nun n > N und m [mm]\in \IN[/mm]
> > >
> > > [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}|=|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}[/mm] + [mm]a_{n+m-1}[/mm] -/+ ...
> > > + [mm]a_{n+1}-a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] + [mm]|a_{n+m-1}[/mm] -
> > > [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
> >
> >
> > Veilleicht hast Du schon einen Verdacht, wodurch man
> > [mm]|a_{k+1}-a_k|[/mm] abschätzen kann.
> >
>
> Cauchysches Konvergenzkriterium:
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN, \foralln,m \ge[/mm]
> N, n [mm]\ge[/mm] m :| [mm]\summe_{k=m}^{n}{a_{k}}|< \varepsilon.[/mm]
Hallo,
ja, das ist das Cauchy-Konvergenzkriterium. Es liefert Dir eine notwendige und hinreichende Bedingung für dei Konvergenz der Folge [mm] (a_n). [/mm]
(Insofern unterscheidet es sich gravierend von den anderen einschlägigen Kriterien für Konvergenz v. Reihen.)
>
> Jede Cauchy Folge ist beschränkt!
Das stimmt zwar.
Aber ich will die ganze Zeit etwas anderes von Dir hören:
in [mm] \IR [/mm] ist jede Cauchyfolge konvergent.
(Hieraus folgt dann die Beschränktheit.)
>
> also ich weiß ja das [mm]q^k[/mm] die geometrische Reihe ist...
Daß [mm] \summe q^k [/mm] die geometrische Reihe ist, meinst Du sicher.
> (Verweis auf dein Bsp. [mm]q^3|a_{2}-a_{1}|[/mm]
>
> Geom. Summenf.
>
> Allgemein: [mm]\summe_{k=0}^{m} (q^k)[/mm] = [mm]\bruch{1-q^{m+1}}{1-q}[/mm]
Genau, und das werden wir benötigen.
>
> Evtl auf unsere Aufgabe [mm]\summe_{k=0}^{m-1} (q^k)[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^m}{1-q}[/mm] ???
Das entscheiden wir später. Aber Du hast recht: wenn man nur bis m-1 summiert, sieht es so aus, wie Du schreibst.
>
>
> Demnach [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}|=|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}[/mm] + [mm]a_{n+m-1}[/mm]
> -/+ ...
> + [mm]a_{n+1}-a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] + [mm]|a_{n+m-1}[/mm] -
> [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
>
>
> [mm]\le q^{n+m-1}[/mm] + [mm]q^{n+m-2}[/mm] + ... + [mm]q^n[/mm] = [mm]q^n (q^{m-1}[/mm] +
> [mm]q^{m-2}+...+q+1)[/mm]
Bei diesem Schritt ist eher der Wunsch Vater des Gedankens...
Wie willst Du den begründen? Du schätzt die Differenzen durch Potenzen von q nach oben ab. Das stimmt so nicht.
Hast Du [mm] |a_7-a_6| [/mm] berechnet und Dir erarbeitet, was [mm] |a_{n+1}-a_n| [/mm] ist?
DAS benötigst Du zunächst.
Überleg doch mal: ich hatte [mm] |a_5-a-4| [/mm] durch [mm] \le q^3|a_2-a_1| [/mm] abgeschätzt.
Da kann ich doch nicht einfach [mm] |a_5-a-4| [/mm] durch [mm] q^3 [/mm] ersetzen. Immerhin könnte [mm] |a_2-a_1| [/mm] riesengroßt sein!
(Deine Rechnereien mit den q-Potenzen brauchen wir aber etwas später.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 03.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hey...
[mm] |a_{5}-a-4| \le q^3 |a_{2}-a_{1}| [/mm] (nach deinem Bsp.)
[mm] q^3 |a_{2}-a_{1}| [/mm] ist von der Form her ja eigentlich
[mm] q^n |a_{n}-a_{m}| [/mm]
[mm] q^n |a_{n}-a_{m}| [/mm] = [mm] q^n [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m-1} [/mm] + [mm] a_{n-1}-a_{m-2} [/mm] + [mm] ...+a_{n-1} [/mm] - [mm] a_{m})
[/mm]
Man hat ja folgendes nach deinem Bsp.
[mm] a_{5}-a_{4} [/mm] + [mm] a_{4}-a_{3} [/mm] + [mm] a_{3}-a_{2} [/mm] + [mm] a_{2}-a_{1}
[/mm]
d. h. die Indizes wiederholen sich ja [mm] (-a_{4} [/mm] + [mm] a_{4}) [/mm] das heißt ja praktisch, dass die sich Gegenseitig wieder rausheben...
Bei [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] das ist ja praktisch hier das hier:
[mm] a_{5}-a_{4} [/mm] + [mm] a_{4}-a_{3} [/mm] + [mm] a_{3}-a_{2} [/mm] + [mm] a_{2}-a_{1} [/mm] und so sollte das ganze von oben
also [mm] [q^n |a_{n}-a_{m}| [/mm] = [mm] q^n [/mm] ( [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m-1} [/mm] + [mm] a_{n-1}-a_{m-2} [/mm] + [mm] ...+a_{n-1} [/mm] - [mm] a_{m})] [/mm] sein...
Mmhhh... ich hoffe du verstehst was ich meine, denn richtig aufgeschrieben ist das bestimmt nicht...
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> Hey...
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> [mm]|a_{5}-a-4| \le q^3 |a_{2}-a_{1}|[/mm] (nach deinem Bsp.)
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> [mm]q^3 |a_{2}-a_{1}|[/mm] ist von der Form her ja eigentlich
>
>
> [mm]q^n |a_{n}-a_{m}|[/mm]
Es geht mir um etwas anderes: darum, wie man die Differenzen zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder jeweils abschätzen kann.
Denn von solchen Differenzen hast Du hier sehr viele:
$ [mm] |a_{n+m} [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm]
[mm] \le |a_{n+m} [/mm] $ - $ [mm] a_{n+m-1}| [/mm] $ + $ [mm] |a_{n+m-1} [/mm] $ -$ [mm] a_{n+m-2}| [/mm] $ + ... + $ [mm] |a_{n+1} [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| [/mm] $
Es geht mir darum, daß Du über diese vielen Terme nachdenkst und die (jeweils einzeln) abschätzt.
Ich winke ja schon die ganze Zeit mit dem Zaunpfahl.
Hast Du mal [mm] |a_7-a_6| [/mm] ausgerechnet, bis es nicht mehr weitergeht?
Du mußt dafür die Besonderheit der Folge, die in der Aufgabenstellung mitgeteilt ist, ausnutzen.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 03.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
also......
[mm] |a_{5}-a_{4}| \le q^n |a_{4}-a_{3}| \le q^{n+1} |a_{3}-a_{2}| \le q^{n+2} |a_{2}-a_{1}| \le q^{n+3} |a_{1}-a_{0}| [/mm] so und weiter gehts ja nicht...
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le q^n |a_{n}-a_{m}| \le q^{n+1} |a_{m}-a_{m-1}| \le q^{n+2} |a_{m-1}-a_{m-2}| \le q^{n+3} |a_{m-2}-a_{m-3}| \le [/mm] ... [mm] \le q^{n+m} |a_{m-k}-a_{m-l}|
[/mm]
So langsam fällt mir nix mehr ein... wie ich das anstellen könnte...
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> also......
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> [mm]|a_{5}-a_{4}| \le q^n |a_{4}-a_{3}| \le q^{n+1} |a_{3}-a_{2}| \le q^{n+2} |a_{2}-a_{1}| \le q^{n+3} |a_{1}-a_{0}|[/mm]
> so und weiter gehts ja nicht...
>
Hallo,
das geht zwar in die richtige Richtung.
Aber wie kommst Du denn auf [mm] |a_{5}-a_{4}| \le q^n |a_{4}-a_{3}| [/mm] ???
Wie willst Du das begründen? (Das mußt Du Dir angewöhnen: Du mußt jeden Schritt begründen können.)
Abgesehen davon hatte ich Dir das doch bereits haargenau vorgerechnet.
(Guck doch mal in die Voraussetzung.
Da steht: "$ [mm] |a_{n+1} [/mm] $ - $ [mm] a_{n}| \le q|a_{n} [/mm] $ - $ [mm] a_{n-1}| [/mm] $ "
Was bedeutet das für n=4?)
> [mm][mm] |a_{n}-a_{m}| \le q^n |a_{n}-a_{m}| [/mm]
Es steht doch gar nicht zur Debatte [mm] |a_{n}-a_{m}| [/mm] abzuschätzen.
Du bist doch schon viel weiter:
Du hattest doch schon
[mm] |a_{n+m}- a_{n}| \le |a_{n+m}-a_{n+m-1}|+|a_{n+m-1}-a_{n+m-2}|+ ...+|a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] ,
und man interessiert sich nun für die Abschätzung eines jeden dieser Summanden.
Du siehst ja hoffentlich, daß es sich um die Differenzen aufeinanderfolgender Folgenglieder handelt. Immer wird ein Folgenglied vom nächsthöhreren subtrahiert.
Nochmal die Frage, die ich nun schon dreimal gestellt habe, und welche ich ein viertes Mal wiederhole:
Was ist [mm] |a_7-a_6| [/mm] ?
Was ist [mm] |a_{k+1}-a_k|
[/mm]
> [mm][mm] |a_{n}-a_{m}| \le q^n |a_{n}-a_{m}| [/mm]
Zum anderen ist diese Abschätzung doch Unfug: q ist laut Aufgabenstellung doch kleiner als 1. Wie soll da obige Abschätzung gelten???
> So langsam fällt mir nix mehr ein... wie ich das anstellen
> könnte...
Dir muß kaum etwas einfallen.
Ich versuche Dich ja seit geraumer Zeit auf die richtige Spur zu stellen.
Dazu dienen auch die Fragen, die ich stelle.
Sie sollen den Prozeß des Verstehens unterstützen.
Du bisher immer noch nicht [mm] |a_7-a_6| [/mm] ausgerechnet.
Das doch zur Klärung dienen, und den Weg für den allgemeinen Fall [mm] |a_{k+1}-a_k| [/mm] vorbereiten.
Dieses Fall - die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder - brauchst Du.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] |a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q|a_{n}[/mm] - [mm]a_{n-1}|[/mm]
für n=4 gilt dann:
[mm] |a_{5}-a_{4}| \le q|a_{4}-a_{3}| [/mm]
Berechnung zu [mm] |a_{7} [/mm] - [mm] a_{6}|
[/mm]
[mm] |a_{7} [/mm] - [mm] a_{6}| \le |a_{6} [/mm] - [mm] a_{5}| \le |a_{5} [/mm] - [mm] a_{4}| \le |a_{4} [/mm] - [mm] a_{3}| \le |a_{3} [/mm] - [mm] a_{2}|
[/mm]
[mm] \le |a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| \le |a_{1} [/mm] - [mm] a_{0}|
[/mm]
Was ist nun [mm] |a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k}|???
[/mm]
Das ist ja praktisch das, was ich oben schon hingeschrieben habe....
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> [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q|a_{n}[/mm] - [mm]a_{n-1}|[/mm]
>
> für n=4 gilt dann:
>
> [mm]|a_{5}-a_{4}| \le q|a_{4}-a_{3}|[/mm]
Und weiter???
Weiter gilt
[mm] |a_{5}-a_{4}| \le q|a_{4}-a_{3}|\le q*q|a_{3}-a_{2}|\le q*q*q|a_{2}-a_{1}|=q^3|a_{2}-a_{1}|
[/mm]
(Das hatte ich Dir doch vor x Posts schon hingeschrieben.)
>
>
> Berechnung zu [mm]|a_{7}[/mm] - [mm]a_{6}|[/mm]
>
> [mm]|a_{7}[/mm] - [mm]a_{6}| \le |a_{6}[/mm] - [mm]a_{5}| \le |a_{5}[/mm] - [mm]a_{4}| \le |a_{4}[/mm]
> - [mm]a_{3}| \le |a_{3}[/mm] - [mm]a_{2}|[/mm]
>
> [mm]\le |a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}| \le |a_{1}[/mm] - [mm]a_{0}|[/mm]
Du schätzt hier zu grob nach oben ab. Es steht das q in [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q|a_{n}[/mm] - [mm]a_{n-1}|[/mm]
ja auch nicht zum Spaß da.
Es ist
[mm] |a_{7} [/mm] - [mm] a_{6}| \le q|a_{6} -a_{5}| \le q^2|a_{5} [/mm] - [mm] a_{4}| \le q^3|a_{4} [/mm] - [mm] a_{3}| \le q^4|a_{3} [/mm] - [mm] ]a_{2}|\le q^5|a_{2} [/mm] - [mm] ]a_{1}|.
[/mm]
> Was ist nun [mm]|a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k}|???[/mm]
Entsprechend ist [mm] |a_{k+1}- a_{k}|\le q^{k-1}|a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}|.
[/mm]
Wie irgendwo im Laufe des Threads erwähnt: das muß noch bewiesen werden, ist per Induktion sehr leicht.
So.
Nun setze obige Beziehung in
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}| \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| [/mm] + [mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] ein.
Anschließend ausklammern, was auszuklammern geht, und dann näherst Du Dich dem großen Finale.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Also ich soll das hier [mm]|a_{7}[/mm] - [mm]a_{6}| \le q|a_{6} -a_{5}| \le q^2|a_{5}[/mm] - [mm]a_{4}| \le q^3|a_4}[/mm] - [mm]a_{3}| \le q^4|a_{3}[/mm] - [mm]]a_{2}|\le q^5|a_{2}[/mm] - [mm]]a_{1}|.[/mm] hier unten einsetzen?
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}| \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| [/mm] + [mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] ????
Ich habs mal probiert, ich finds doch sehr sehr komisch und so wirklich blick ich da net durch...
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}| \le q^n |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| [/mm] + [mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm]
ich komm hier auf keinen grünen Zweig... Ich weiß nicht was ich wo einsetzen soll...
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> Also ich soll das hier [mm]|a_{7}[/mm] - [mm]a_{6}| \le q|a_{6} -a_{5}| \le q^2|a_{5}[/mm]
> - [mm]a_{4}| \le q^3|a_4}[/mm] - [mm]a_{3}| \le q^4|a_{3}[/mm] - [mm]]a_{2}|\le q^5|a_{2}[/mm]
> - [mm]]a_{1}|.[/mm] hier unten einsetzen?
Das war eine kleine Vorübung, welche die darauffolgende Mitteilung
(*)$ [mm] |a_{k+1}- a_{k}|\le q^{k-1}|a_{2} [/mm] $ - $ [mm] a_{1}|. [/mm] $
plausibel machen sollte, und Hinweise dafür liefern, wie man es beweist. (Die Formel muß später noch bewiesen werden.)
> [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] +
> [mm]|a_{n+m-1}[/mm] - [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
>
> ich komm hier auf keinen grünen Zweig... Ich weiß nicht was
> ich wo einsetzen soll...
Schätze nun mithilfe von (*) jeden Summanden ab, also
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] [mm] \le [/mm] ... [Hier mußt Du statt k in obiger Formel n+m-1 einsetzen]
[mm]|a_{n+m-1}[/mm] - [mm]a_{n+m-2}|[/mm][mm] \le [/mm] ... [Hier mußt Du statt k in obiger Formel n+m-2 einsetzen]
...
[mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] [mm] \le [/mm] ... [Hier mußt Du statt k in obiger Formel n einsetzen]
Danach: summieren.
Gruß v.Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] +
[mm]|a_{n+m-1}[/mm] - [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ... + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm] a_{n}|
[/mm]
[mm] \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| \le q^{n+m-1} |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}|
[/mm]
[mm] \le |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| \le q^{n+m-2} |a_{n+2}-a_{n+1}| \le...
[/mm]
[mm] \le |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le q^{n+m}|a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}|
[/mm]
Stimmt bestimmt wieder nicht...
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Die Formel [mm] |a_{k+1}-a_k|\le q^{k-1}|a_2-a_1|
[/mm]
liefert uns eine Möglichkeit, die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder [mm] a_{k+1} [/mm] und [mm] a_k [/mm] abzuschätzen.
Wie geht das? Diese Differenz ist ein Vielfaches von [mm] |a_2-a_1|. [/mm] Der Faktor ist eine Potenz von q. Welche Potenz? "zwei weniger als das größere Folgenglied".
Ist das gößere der beiden Folgenglieder [mm] a_{k+1} [/mm] haben wir den Faktor [mm] q^{k-1}
[/mm]
st das gößere der beiden Folgenglieder [mm] a_{u+v+w} [/mm] haben wir den Faktor [mm] q^{u+v+w-2}
[/mm]
Ist das gößere der beiden Folgenglieder [mm] a_{123} [/mm] haben wir den Faktor [mm] q^{121}
[/mm]
Also haben wir
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| \le q^{n+m-2} |a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| [/mm]
[mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| \le q^{n+m-3} |a_{2}-a_{1}| [/mm]
...
[mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le q^{n-1}|a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| [/mm]
Also ist
[mm] |a_{n+m}- a_{n}| \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| [/mm] + [mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm]
[mm] \le [/mm] ... summieren und dann ausklammern.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Also haben wir
> [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}| \le q^{n+m-2} |a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}|[/mm]
>
> [mm]|a_{n+m-1}[/mm] - [mm]a_{n+m-2}| \le q^{n+m-3} |a_{2}-a_{1}|[/mm]
>
> ...
>
> [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q^{n-1}|a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}|[/mm]
>
>
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}| \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+3-1}| +|a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] +...+ [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le q^{n+m-2}|a_{2}-a_{1}| [/mm] + [mm] q^{n+m-3}|a_{2}-a_{1}| +...+q^{n-1}|a_{2}-a_{1}| [/mm]
So....
wenns jetzt immer noch nicht stimmt, dann weiß ich es auch nicht mehr... macht langsam nämlich keinen Spaß mehr... (kein Vorwurf an Euch !!! )
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> Also haben wir
> > [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}| \le q^{n+m-2} |a_{2}[/mm] -
> [mm]a_{1}|[/mm]
> >
> > [mm]|a_{n+m-1}[/mm] - [mm]a_{n+m-2}| \le q^{n+m-3} |a_{2}-a_{1}|[/mm]
> >
> > ...
> >
> > [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q^{n-1}|a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}|[/mm]
> >
> >
>
>
> [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}| \le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}| +|a_{n+m-1}[/mm] -
> [mm]a_{n+m-2}|[/mm] +...+ [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le q^{n+m-2}|a_{2}-a_{1}|[/mm]
> + [mm]q^{n+m-3}|a_{2}-a_{1}| +...+q^{n-1}|a_{2}-a_{1}|[/mm]
>
Das stimmt nun.
> So....
>
> wenns jetzt immer noch nicht stimmt, dann weiß ich es auch
> nicht mehr... macht langsam nämlich keinen Spaß mehr...
Das glaube ich Dir gerne.
Wenn Du gründlicher arbeiten und vor allem genauer lesen würdest, ginge es um Klassen schneller.
Das würde die meisten der Posts in diesem Thread überflüssig gemacht haben.
Zurück zum Thema:
In der Summe, die Du nun hast, kannst Du [mm] q^{n-1}|a_{2}-a_{1}| [/mm] ausklammern, denn das steckt in jedem der Summanden.
das oben [mm] \le q^{n-1}|a_{2}-a_{1}|* [/mm] ( ... ).
Wenn Du das hast, kannst Du mit der geometrischen Folge kommen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] \le q^{n-1}|a_{2}-a_{1}| [/mm] ( [mm] q^{n+m-1} [/mm] + [mm] q^{n+m-2} [/mm] + ... + 1)
ist das so korrekt... obwohl bei den Exponenten bin ich mir nicht sicher....
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> [mm]\le q^{n-1}|a_{2}-a_{1}|[/mm] ( [mm]q^{n+m-1}[/mm] + [mm]q^{n+m-2}[/mm] + ... +
> 1)
>
> ist das so korrekt... obwohl bei den Exponenten bin ich mir
> nicht sicher....
Hallo,
ob die Exponenten richtig sind, kannst Du ja überprüfen, indem Du wieder (auf einem Schmierzettel) ausmultiplizierst.
Ansonsten : wenn Du aus (27+39x) die drei ausklammerst, teilst Du ja die 27 durch 3 und die 39x durch 3. Dividierend kriegt man's also auch hin.
Du ahnst es: die Exponenten sind nicht ganz richtig.
Was ist denn [mm] \bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:16 Mo 04.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Was ist denn [mm]\bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}}?[/mm]
Es gilt ja: [mm] \bruch {a_{n}}{a_{m}} [/mm] = [mm] a^{n-m}
[/mm]
und [mm] a^n [/mm] * [mm] a^m [/mm] = [mm] a^{n+m}
[/mm]
[mm] \bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}} [/mm] = [mm] q^{m+n-1} [/mm] ???
Schon wieder so ne Sache, die wir in der Schule nicht gemacht haben...
Ich glaub ich gebs auf und lass die Aufgabe sein...
Bevor ich morgen immer noch dran sitze, dann habe ich 4 Tage für so ne Aufgabe gebraucht... :-/
Danke nochmal....
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> Was ist denn [mm]\bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}}?[/mm]
>
> Es gilt ja: [mm]\bruch {a^{n}}{a^{m}}[/mm] = [mm]a^{n-m}[/mm]
>
> und [mm]a^n[/mm] * [mm]a^m[/mm] = [mm]a^{n+m}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}}[/mm] = [mm]q^{m+n-1}[/mm] ???
>
> Schon wieder so ne Sache, die wir in der Schule nicht
> gemacht haben...
Wenn Du die Mittelstufe einer Schule besucht hast, war das in der Schule dran.
Aber selbst wenn nicht: da Du das Kochrezept [mm] \bruch {a^{n}}{a^{m}}[/mm] [/mm] = [mm]a^{n-m}[/mm]
selbst aufgeschrieben hast, müßte Dir der Transfer auf die Aufgabe
[mm] \bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}} [/mm] durchaus gelingen.
> Ich glaub ich gebs auf und lass die Aufgabe sein...
>
> Bevor ich morgen immer noch dran sitze, dann habe ich 4
> Tage für so ne Aufgabe gebraucht... :-/
Das ist schon erstaunlich, denn die Aufgabe ist nicht besonders schwierig, und ich habe es ja heftigst vorverdaut.
Wenn Du allerdings so große Lücken hast, daß Du keine Potenzrechnung beherrscht,ist es wirklich sinnlos, wenn Du Dich mit solchen Aufgaben beschäftigst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 05.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich weiß nur so viel das ich die Potenzrechnung in der Schule nicht gehabt habe...
So erstaunlich das auch klingt!!!!
> > Es gilt ja: [mm]\bruch {a^{n}}{a^{m}}[/mm] = [mm]a^{n-m}[/mm]
> >
> > und [mm]a^n[/mm] * [mm]a^m[/mm] = [mm]a^{n+m}[/mm]
> >
> >
> > [mm]\bruch{q^{n+m-2}}{q^{n-1}}[/mm] = [mm]q^{m-1}[/mm]
Also einfach die Exponenten, subtrahieren?
Stimmts jetzt?
Wenn ja, dann dürfte ja eigentlich folgendes da stehn.
[mm] q^{n-1} |a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| [/mm] ( [mm] q^{m-1} [/mm] + [mm] q^{m-2} [/mm] + ... + q + 1)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Di 05.06.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ich schreib jetzt einfach mal den Beweis auf, so wie ich ihn jetzt machen würde.
Man wähle ein N [mm] \in \IN [/mm] zu festem [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so dass [mm] q^N [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (1-q) gilt.
Für n > N und m [mm] \in \IN [/mm] ergibt sich dann
[mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] = [mm] |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1} [/mm] + [mm] a_{n+m-1} [/mm] -+ .... + [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}|
[/mm]
[mm] \le |a_{n+m} [/mm] - [mm] a_{n+m-1}| [/mm] + [mm] |a_{n+m-1} [/mm] - [mm] a_{n+m-2}| [/mm] + ... + [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}|
[/mm]
[mm] \le q^{n+m-2} |a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| [/mm] + [mm] q^{n+m-3} |a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| [/mm] + ... + [mm] q^{n-1} |a_{2} [/mm] - [mm] a_{1}| [/mm]
= [mm] q^{n-1} |a_{2}-a_{1}| [/mm] ( [mm] q^{m-1} [/mm] + [mm] q^{m-2} [/mm] + ... + q +1)
= [mm] q^n [/mm] * [mm] \bruch{1-q^{m}}{1-q} [/mm] < [mm] \bruch{q^n}{1-q} [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon(1-q)}{1-q} =\varepsilon
[/mm]
da [mm] \summe_{n=0}^{m-1} q^n [/mm] = [mm] \bruch{1-q^m}{1-q}
[/mm]
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> Ich schreib jetzt einfach mal den Beweis auf, so wie ich
> ihn jetzt machen würde.
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> Man wähle ein N [mm]\in \IN[/mm] zu festem [mm]\varepsilon[/mm] > 0, so dass
> [mm]q^N[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] (1-q) gilt.
Hallo,
das kann man so machen; ich jedoch würde eine Angabe in der Form "Wähle N> ..." bevorzugen, weil dann direkt abzulesen ist, wie groß N sein muß
> Für n > N und m [mm]\in \IN[/mm] ergibt sich dann
>
> [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] = [mm]|a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}[/mm] + [mm]a_{n+m-1}[/mm] -+
> .... + [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
>
> [mm]\le |a_{n+m}[/mm] - [mm]a_{n+m-1}|[/mm] + [mm]|a_{n+m-1}[/mm] - [mm]a_{n+m-2}|[/mm] + ...
> + [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
>
> [mm]\le q^{n+m-2} |a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}|[/mm] + [mm]q^{n+m-3} |a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}|[/mm] +
> ... + [mm]q^{n-1} |a_{2}[/mm] - [mm]a_{1}|[/mm]
>
> = [mm]q^{n-1} |a_2-a_1| [/mm] ( [mm]q^{m-1}[/mm] + [mm]q^{m-2}[/mm] + ... + q +1)
>
> = [mm]q^n[/mm] * [mm]\bruch{1-q^{m}}{1-q}[/mm] < [mm]\bruch{q^n}{1-q}[/mm]
Die Gleichheit stimmt nicht. Du läßt das [mm] |a_2-a_1| [/mm] unter den Tisch fallen.
Abgesehen von diesem verschwundenen Faktor, welcher natürlich Auswirkung auf das zu wählende N hat, ist es richtig, was Du dann weiter tust.
Gruß v. Angela
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