www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis" - Cauchy-Produkt
Cauchy-Produkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Cauchy-Produkt: Ich verstehe das nicht :(
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:51 Mi 06.04.2005
Autor: baddi

Hi zusammen, war gerade ein bisle entmutigt, da ich nach Internetrecheche
dass Cauchy-Produkt immer noch nicht richtig erfasst habe.

Freundin gab mir jetzt wieder einen Stups hier zu posten :)

Definition vom Cauchy-Produkt - so steht es bei uns im Script - is ja:

[mm] $\summe_{k=0}^{ \infty}$ a_k [/mm] * [mm] $\summe_{l=0}^{ \infty}$ b_l [/mm] =
[mm] $\summe_{n=0}^{ \infty}$ [/mm] ( [mm] $\summe_{k+l=n}^{ }$ a_k*b_{l-k} [/mm]  )

(Vorrausetzung
[mm] $\summe_{k=0}^{ \infty}$ a_k [/mm]    und
[mm] $\summe_{l=0}^{ \infty}$ b_l [/mm]       sind absolut konvergent )

Was mich darn z.B. irritiert ist, dass ich für
[mm] $\summe_{k+l=n}^{ }$ a_k*b_{l-k} [/mm]
nicht weiss wie der Index läuft. Wo ist die obere Grenze?
wie wird n auf k und l verteilt ?

Wie wende ich das Cauchy-Produkt  an ?

Ein einfaches Übungsbeispiel habe ich leider nicht gefunden, waren mir alle zu kompliziert :-o

LGrüße Sebastian

        
Bezug
Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Mi 06.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Sebastian,
> Definition vom Cauchy-Produkt - so steht es bei uns im
> Script - is ja:

  
[mm](\summe_{k=0}^{ \infty}a_k) * (\summe_{l=0}^{ \infty}b_l) =\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k})[/mm]
So sollte das Cauchy-Produkt ausschauen. Dann sieht man auch wie der Index läuft :-)

> (Vorrausetzung
> [mm]\summe_{k=0}^{ \infty}[/mm] [mm]a_k[/mm]    und
> [mm]\summe_{l=0}^{ \infty}[/mm] [mm]b_l[/mm]       sind absolut konvergent )

...dann konvergiert auch das Cauchy Produkt
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k})[/mm]
und zwar absolut.

> Wie wende ich das Cauchy-Produkt  an ?
>  
> Ein einfaches Übungsbeispiel habe ich leider nicht
> gefunden, waren mir alle zu kompliziert :-o

Du könntest z.B. [mm]e^x*e^y=e^{x+y}[/mm] über die Reihendarstellung der e-Funktion zeigen.
gruß
mathemaduenn

Bezug
                
Bezug
Cauchy-Produkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:45 Mi 06.04.2005
Autor: baddi

Jo :) erstmal danke mathemaduenn,

So verstehe ich schon mal die Syntax, aber das Beispiel konnte ich noch
nicht zu Ende rechnen.

>Definition vom Cauchy-Produkt

> [mm](\summe_{k=0}^{ \infty}a_k) * (\summe_{l=0}^{ \infty}b_l) =\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n}a_k*b_{n-k})[/mm]

>  Du könntest z.B. [mm]e^x*e^y=e^{x+y}[/mm] über die
> Reihendarstellung der e-Funktion zeigen.

Ersmal habe ich nachgewiesen das die e-Funktion absout konvergiert.
Also
[mm] e^x [/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
absout konvergiert, weil das Wurzelkriterium
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|\bruch{x^n}{n!}|} = 0[/mm]
ist.
Ja warum? Weil man sieht
[mm] \bruch{x^n}{n!} [/mm] < 1
Wie zeige ich eigentlich das n! > [mm] x^n [/mm] ?
Klar ist das schon, aber vielelleicht gibts ne elegante Methode?

Danach konnte ich also das Cauchy-Produkt anwenden.
Zu zeigen ist das:
[mm][/mm]
[mm] $(\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{x^n}{n!}) [/mm] $
*
[mm] $(\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{y^n}{n!}) [/mm] $
=
[mm] $(\summe_{n=0}^{ \infty} \bruch{(x+y)^n}{n!}) [/mm] $

Leider kann ich aus der abs. Konvergenz von [mm] e^x [/mm] und [mm] e^y [/mm] mittels des
Cauchy-Produkts bisher nur folgern:

[mm] e^x [/mm] * [mm] e^y [/mm]
=
[mm]\summe_{n=0}^{ \infty} ( \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^k}{ k! } * \bruch{y^{n-k}}{(n-k)!} )[/mm]
P.S:Wird oben nicht richtig dargestellt. Ich weiss nicht warum.

Bezug
                        
Bezug
Cauchy-Produkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 Mi 06.04.2005
Autor: banachella

Hallo Sebastian!

Dass [mm] \summe_{n=0}^\infty\bruch{|x|^n}{n!} [/mm] konvergiert sieht man am einfachsten aus dem Quotientenkriterium:
Es genügt zu zeigen, dass [mm] \lim_{n\to\infty} (\bruch{|x|^{n+1}}{(n+1)!}):(\bruch{|x|^{n}}{n!})<1. [/mm] Wegen [mm] \bruch{|x|}{n+1}\to{}0 [/mm] für alle [mm]x\in\IC[/mm] gilt das aber.

[mm] e^{x+y}=e^{x}e^{y} [/mm] zeigt man am einfachsten, wenn man beides erstmal ein bisschen umformt. Die rechte Seite hast du ja schon. Und auf der linken Seite macht man sich [mm] (x+y)^n=\summe_{k=0}^n \vektor{n \\ k} x^ky^{n-k} [/mm] zunutze.

Kommst du damit durch?

banachella





Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]