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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 So 14.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen !
Ich komme bei folgender Sache nicht weiter:
Es gilt:
tan z = cos z [mm] *\summe_{v=1}^{\infty} (-1)^v*\bruch{E_{2v}}{(2v-1)!}*z^{2v-1} [/mm]
Andererseits gilt
tan z = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}*\bruch{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}*z^{2n-1}
[/mm]
Hierbei sind [mm] E_n [/mm] die Eulerschen und [mm] B_n [/mm] die Bernoullischen Zahlen, was aber nicht weiter von Bedeutung ist.
Nun kann man für Cosinus die Reihenentwicklung einsetzen und das Cauchyprodukt bilden und einen Koeffizientenvergleich der beiden Reihen für tan z durchführen.
Dann soll folgendes erhalten:
[mm] \bruch{2^{n+1}(2^{n+1}-1)}{n+1}*B_{n+1}=\summe_{v=0}^{n}\vektor{n \\ v}E_v
[/mm]
Allerdings schaffe ich es nicht auf das Ergebnis zu kommen:
Hiermal ein paar Zwischenschritte von mir:
tan z = cos z [mm] *\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{E_{2v}}{(2v-1)!}*z^{2v-1} [/mm]
[mm] =(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!})*\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{E_{2v}}{(2v-1)!}*z^{2v-1} [/mm]
[mm] \gdw \summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{v=0}^{n}\bruch{(-1)^{n-v}*z^{2(n-v)}}{(2(n-v))!}*\bruch{(-1)^vE_{2v}*z^{2v-1}}{(2v-1)!})
[/mm]
Hab dann etwas zusammengefasst und ne Koeffizientenvergleich gemacht:
[mm] \summe_{v=0}^{n}\bruch{E_{2v}}{(2n-2v)!(2v-1)!}=-\bruch{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}
[/mm]
Jetzt muss garantiert substituert werden, komme aber nie auf das richtige Ergebnis. Wie komme ich jetzt weiter bzw wo hab ich Fehler gemacht ?
Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet. Danke!
LG
Fry
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Hallo Fry,
> Hallo zusammen !
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> Ich komme bei folgender Sache nicht weiter:
> Es gilt:
> tan z = cos z [mm]*\summe_{v=1}^{\infty} (-1)^v*\bruch{E_{2v}}{(2v-1)!}*z^{2v-1}[/mm]
> Andererseits gilt
>
> tan z =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}*\bruch{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}*z^{2n-1}[/mm]
>
> Hierbei sind [mm]E_n[/mm] die Eulerschen und [mm]B_n[/mm] die Bernoullischen
> Zahlen, was aber nicht weiter von Bedeutung ist.
>
> Nun kann man für Cosinus die Reihenentwicklung einsetzen
> und das Cauchyprodukt bilden und einen
> Koeffizientenvergleich der beiden Reihen für tan z
> durchführen.
> Dann soll folgendes erhalten:
>
> [mm]\bruch{2^{n+1}(2^{n+1}-1)}{n+1}*B_{n+1}=\summe_{v=0}^{n}\vektor{n \\ v}E_v[/mm]
>
> Allerdings schaffe ich es nicht auf das Ergebnis zu
> kommen:
>
> Hiermal ein paar Zwischenschritte von mir:
> tan z = cos z [mm]*\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{E_{2v}}{(2v-1)!}*z^{2v-1}[/mm]
> [mm]=(\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{z^{2n}}{(2n)!})*\summe_{v=1}^{\infty} \bruch{E_{2v}}{(2v-1)!}*z^{2v-1}[/mm]
> [mm]\gdw \summe_{n=1}^{\infty}(\summe_{v=0}^{n}\bruch{(-1)^{n-v}*z^{2(n-v)}}{(2(n-v))!}*\bruch{(-1)^vE_{2v}*z^{2v-1}}{(2v-1)!})[/mm]
>
> Hab dann etwas zusammengefasst und ne
> Koeffizientenvergleich gemacht:
>
> [mm]\summe_{v=0}^{n}\bruch{E_{2v}}{(2n-2v)!(2v-1)!}=-\bruch{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Jetzt muss garantiert substituert werden, komme aber nie
> auf das richtige Ergebnis. Wie komme ich jetzt weiter bzw
> wo hab ich Fehler gemacht ?
Bis hierhin ist alles ok.
Den Ausdruck
[mm]\bruch{1}{\left(2n-2v\right)!\left(2v-1\right)!}[/mm]
kannst Du mit Hilfe der Definition der Binomialkoeffizienten
noch etwas anders schreiben.
> Wäre toll, wenn ihr mir helfen könntet. Danke!
>
> LG
> Fry
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 So 14.06.2009 | | Autor: | Fry |
Hi Mathepower,
danke für deine Antwort. Ich habe schon versucht den Term durch Erweitern in einen Binomialkoeffizienten umzuwandeln, aber ich komme damit überhaupt nicht weiter, zumal im Nenner der Term (2v-1)!steht.
Könntest du mir da konkrekt weiterhelfen? Danke!
LG
Fry
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Hallo Fry,
> Hi Mathepower,
>
> danke für deine Antwort. Ich habe schon versucht den Term
> durch Erweitern in einen Binomialkoeffizienten umzuwandeln,
> aber ich komme damit überhaupt nicht weiter, zumal im
> Nenner der Term (2v-1)!steht.
> Könntest du mir da konkrekt weiterhelfen? Danke!
>
Wir haben den Ausdruck
[mm]\bruch{1}{\left(2n-2v\right)!\left(2v-1\right)!}[/mm]
Um diesen Ausdruck in Form eines Binomialkoeffizienten
schreiben zu können, addieren wir zunächst
[mm]\left(2n-2v\right)+\left(2v-1\right)=2n-1[/mm]
Nun ist aber
[mm]\pmat{2n-1 \\ 2v-1}=\bruch{\left(2n-1\right)!}{\left(2n-2v\right)!*\left(2v-1\right)!}[/mm]
das heißt
[mm]\bruch{1}{\left(2n-2v\right)!\left(2v-1\right)!}=\bruch{1}{\left(2n-1\right)!} *\pmat{2n-1 \\ 2v-1}[/mm]
> LG
> Fry
Gruß
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:21 So 14.06.2009 | | Autor: | Fry |
Super, danke schön !
Hab dann weiter umgeformt:
[mm] \summe_{v=0}^{n}\vektor{2n-1 \\ 2v-1}E_{2v}= -\bruch{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{2n}
[/mm]
Hab dann 2n durch n+1 substituiert:
[mm] \summe_{v=0}^{(n+1)/2}\vektor{n \\ 2v-1}E_{2v}= -\bruch{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}
[/mm]
Dann hab ich ne Indexverschiebung durchgeführt:
[mm] \summe_{v=1}^{n+1}\vektor{n \\ v-1}E_{v}= -\bruch{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw\summe_{v=0}^{n}\vektor{n \\ v}E_{v}= -\bruch{2^{n+1}(2^{n+1}-1)B_{n+1}}{n+1}
[/mm]
Stimmt das? Leider ist immer noch ein überschüßiges Minuszeichen dabei,
wie kommt das denn wohl weg?
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 19.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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