Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in\IR_{>0} [/mm] und es gelte a-b=1.
Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der Reihen
[mm] a+\summe_{n\ge1} a^{n} [/mm] und [mm] -b+\summe_{n\ge1} b^{n} [/mm] konvergiert, obwohl die beiden Reihen selber i.a. divergieren. |
Guten Abend,
Also das Cauchyprodukt an sich habe ich so halbwegs verstanden. Doch was passiert nun, wenn ich das "a+" und das "-b+" vor den Summenzeichen stehen habe? Verändert sich da viel?
Und sonst habe ich das Cauchy-Produkt immer nur mit einer unteren Grenze der Summe =0 gesehen und nie [mm] \ge [/mm] 1. Ich weiß nicht so wirklich, was sich dann alles verändert. Nehme ich das a und b vor der Summe auch mal?
Ich verstehe zwar, dass die Reihen an sich nicht konvergent sind. Doch wieso soll das Cauchyprodukt konvergent sein? Das sehe ich auch nicht wirklich...
Brauche dringend Hilfe...
gruß schneeweißchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag,
> Es seien a,b [mm]\in\IR_{>0}[/mm] und es gelte a-b=1.
> Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der Reihen
> [mm]a+\summe_{n\ge1} a^{n}[/mm] und [mm]-b+\summe_{n\ge1} b^{n}[/mm]
> konvergiert, obwohl die beiden Reihen selber i.a.
> divergieren.
>
es ist [mm] a_0=a [/mm] und [mm] a_n=a^n, n\geq [/mm] 1 sowie [mm] b_0=-b, b_n=b^n, n\geq [/mm] 1
und dann ergibt sich
[mm] (a_n)\cdot (b_n)=(c_n)
[/mm]
mit [mm] c_n=\sum_{j=0}^n a_jb_{n-j}=a\cdot b^n -b\cdot a^n +\sum_{j=1}^{n-1}a^jb^{n-j}
[/mm]
und somit
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}c_n=\: \sum_{n}\:(\: a\cdot b^n\: -\: b\cdot a^n\: +\: \sum_{j=1}^{n-1}a^jb^{n-j}\:\: [/mm] )
Nun kann man a=1+b einsetzen und erhält
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}c_n=\: \sum_{n}\:(\: (1+b)b^n-b(1+b)^n+\sum_{j=1}^{n-1}(1+b)^jb^{n-j}\:\: [/mm] )
und muß nun schauen, wie man das weiter vereinfachen kann.
Gruß,
Mathias
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Hallo
>
> Nun kann man a=1+b einsetzen und erhält
>
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}c_n=\: \sum_{n}\:(\: (1+b)b^n-b(1+b)^n+\sum_{j=1}^{n-1}(1+b)^jb^{n-j}\:\:[/mm]
> )
>
> und muß nun schauen, wie man das weiter vereinfachen kann.
Den Weg bis hierhin konnte ich nachvollziehen. Danke dafür.
Jetzt habe ich versucht die letzte Zeile zu vereinfachen. Leider kam ich nicht weit. Ich habe nur geschafft:
[mm] \sum_{n}(b^{n}+b^{n+1}-b(1+b)^{n}+\sum_{j=1}^{n-1}(1+b)^{j}b^{n-j})
[/mm]
Gibt es eine weitere Vereinfachung um dann die Konvergenz der Reihe [mm] \sum c_{n} [/mm] zu zeigen? Und mit welchem Kriterium könnte ich diese zeigen?
gruß schneeweißchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 08.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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hallo
vielleicht kann mir jemand helfen die letzte zeile zu vereinfachen.
gruß
schneeweisschen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Di 09.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Schneeweisschen
Wenn du das Cauchy-Produkt mit [mm] $a_0=1$ [/mm] und [mm] $b_0=1$ [/mm] andere Koeffizienten wie oben, so würdest du für [mm] $c_n=\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}$ [/mm] bekommen.
Jetzt hast du aber [mm] $a_0=a=1+(a-1)$ [/mm] und [mm] $b_0=-b=1-(b+1)$. [/mm] Damit ergibt sich jetzt im Cauchy-Produkt
[mm] $c_n=(a-1)b^n-(b+1)a^n+\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}=(a-1)b^n-(b+1)a^n+\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}\$ [/mm] falls [mm] $n\geq [/mm] 1$.
Beachtet man noch $a-b=1$ rsp. $a-1=b$ rsp. $b+1=a$ so erhält man:
[mm] $c_n=(a-1)b^n-(b+1)a^n+\sum_{k=0}^n a^k b^{n-k}=b b^n-a a^n+\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{1} =0\$ [/mm] falls [mm] $n\geq [/mm] 1$.
mfG Moudi
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> [mm]\sum_{n}(b^{n}+b^{n+1}-b(1+b)^{n}+\sum_{j=1}^{n-1}(1+b)^{j}b^{n-j})[/mm]
Hallo,
[mm] \sum_{n}(b^{n}+b^{n+1}-b(1+b)^{n}+\sum_{j=1}^{n-1}(1+b)^{j}b^{n-j})
[/mm]
[mm] =\sum_{n}(b^{n}+b^{n+1}-b(1+b)^{n}+[-(1+b)^{0}b^{n-0}-(1+b)^{n}b^{n-n}+\sum_{j=0}^{n}(1+b)^{j}b^{n-j}])
[/mm]
[mm] =\sum_{n}(b^{n}+b^{n+1}-b(1+b)^{n}+-b^{n}-(1+b)^{n}+\sum_{j=0}^{n}(1+b)^{j}b^{n-j})
[/mm]
[mm] =\sum_{n}(+b^{n+1}-(1+b)^{n}(1+b)+\sum_{j=0}^{n}(1+b)^{j}b^{n-j})
[/mm]
[mm] =\sum_{n}(+b^{n+1}-(1+b)^{n+1}+\sum_{j=0}^{n}(1+b)^{j}b^{n-j})
[/mm]
Ob's was nützt? Keine Ahnung.
Gruß v. Angela
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