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Hi Ihr!
Ich hab gerade ein Brett vor dem Kopf. Es geht um folgendes: Mit Hilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens kann man ja die Abzählbarkeit der (zunächst) positiven rationalen Zahlen nachweisen. Abzählbarkeit bedeutet, bei unendlichen Mengen ja, dass es eine Bijektion zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der rationalen positiven Zahlen gibt. Aber wenn ich das Verfahren anwende klappt das nicht. Warum?? Denn erst wird der 1 die 2 zugeordnet, dann der 2 ... wie wird denn dort jeder natürlichen Zahl genau eine rationale zugeordnet??? Bei meinem Verständnis wird der 2/3 und der 3/2 beiden eine nat. Zahl zugeordnet. Kann mir das einer so erklären, dass es auch ein dummer wie ich verstehen kann????
Glg
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Hallo!
Also, ich versuch's mal:
Du schreibst die Zahlen in ein Schema von Brüchen, so dass in der ersten Zeile im Zähler überall die 1 steht, in der zweiten im Zähler überall die 2 usw. Und in den Spalten steht entsprechend in der ersten Spalte überall die 1 im Nenner, in der zweiten Spalte überall die 2 im Nenner usw. Du hast also quasi alle rationalen Zahlen irgendwo durch einen Bruch dargestellt, auch wenn du das Schema natürlich nicht vollständig zeichnen kannst, da es unendlich viele rationale Zahlen gibt.
Nun brauchst du eine "Reihenfolge", so dass du jede dieser Zahlen einmal erwischst. Und diese Reihenfolge fängt links oben bei [mm] \bruch{1}{1} [/mm] an und geht dann zuerst nach rechts zu [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] Von dort dann schräg nach links unten zu [mm] \bruch{2}{1} [/mm] und dann direkt senkrecht runter zu [mm] \bruch{3}{1}. [/mm] Dann schräg nach rechts oben zu [mm] \bruch{2}{2}, [/mm] diesen überspringst du aber, da er ja die gleiche Zahl darstellt wir [mm] \bruch{1}{1} [/mm] und den hatten wir ja schon, und noch weiter schräg nach rechts oben zu [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] dann wieder nach rechts, dann immer weiter schräg nach links unten bis zum "Ende", dann wieder eins runter und wieder schräg nach rechts oben bis zum "Ende" und immer so weiter. Auf dieser Weise wird jeder natürlichen Zahl eine rationale zugeordnet.
Siehe dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Cantor-Diagonalisierung.
War das verständlich? Ansonsten frag nochmal nach.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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