C^-1 und D^-1 kommutieren < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Do 30.08.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | | Es sei A und B zwei nxn Matrizen, die kommutieren und In die n dimensionale Einheitsmartix. Man zeige, dass falls C=In - A und D=In - B invertierbar sind, auch C^-1 und D^-1 kommutieren. |
Kommutieren bedeutet ja im Fall von A und B :
AB=BA
Man bezeichnet das Inverse zu C und D mit C^-1 , D^-1
Wenn A=B dann ist ja AB = BA dann wäre ja auch wenn In-A=In-B dann ist C=D und C^-1 =D^-1 oder?
wie kann ich jetzt weiter vorgehen um zu zeigen dass falls C=In - A und
D=In - B invertierbar sind, auch C^-1 und D^-1 kommutieren?
ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen da ich keinen richtigen Ansatz finde
danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das mit dem [mm]A=B[/mm] laß mal lieber sein! Davon ist nirgendwo die Rede - und es ist zur Lösung im übrigen völlig überflüssig!
[mm]C^{-1} D^{-1} = D^{-1} C^{-1}[/mm] ist äquivalent zu [mm]DC = CD[/mm] (beachte dazu die Regel [mm]\left( XY \right)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}[/mm]). Und [mm]DC = CD[/mm] läßt sich unmittelbar durch Einsetzen und Ausrechnen nachweisen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Do 30.08.2007 | | Autor: | fuchsone |
| Aufgabe | C T D = [(In - A) (In-B)] T (In-A) (In-B)
= (In-A)T (In-B)T (In-A) (In-B)
=(In-A) (In-B) (In-A) (In-B)
=In
Wenn zwei invertierbare Matrizen C un D kommutieren so kommutieren auch ihre inverse A^-1B^-1 = (BA)^-1 =(AB)^-1 =B^-1A^-1
C^-1D^-1 = (DC)^-1 =(CD)^-1 =D^-1C^-1
(In-A) (In-B) - (In-A) (In-B)
= [mm] In-A^2 [/mm] - [mm] In-B^2 [/mm] = 0
somit kommutieren In-A und In-B und somit auch C^-1 und D^-1
C^-1D^-1=D^-1C^-1 |
Danke für deine hilfe
ich bin auf dieses Ergebniss gekommen weis aber nicht ob es richtig ist
und ob dies ausreicht
kann jemand meine Lösung bestätigen oder ist mir ein Fehler unterlaufen?
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> kann jemand meine Lösung bestätigen oder ist mir ein Fehler
> unterlaufen?
>
Hallo,
nein, das ist nicht richtig, und manches ist auch etwas wirr.
LeopoldGast hat Dir ja schon gesagt, daß Du fast fertig bist, wenn es Dir gelingt zu zeigen, daß CD=DC.
Daran mußt Du arbeiten.
CD=DC ist ja äquivalent zu Nullmatrix=CD-DC.
Also rechne doch mal CD-DC aus und schau nach, ob Null herauskommt.
[mm] CD-DC=(I_n-A)(I_n-B) [/mm] - [mm] (I_n-B)(I_n-A) [/mm] =... [Ausmultiplizieren, und beachten, daß Du die Reihenfolge der Faktoren nicht einfach vertauschen darfst.]
Als nächstes verwendest Du in der Gleichung, die Du nun dort stehen hast, daß nach Voraussetzung AB=BA. Damit bist Du dann nah am Ziel.
Mal angenommen, Du hättest nun dastehen, daß CD-DC=0 gilt.
Daraus folgt CD=DC.
Um auf die zu beweisende Aussage zu kommen, multiplizierst Du nun auf beiden Seiten rechts und links [mm] C^{-1} [/mm] heran.
Anschließend dasselbe mit [mm] D^{-1}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo!
Ich sitze gerade an der selben Aufgabe.
> Daraus folgt CD=DC.
soweit war ich auch schon.
> Um auf die zu beweisende Aussage zu kommen, multiplizierst
> Du nun auf beiden Seiten rechts und links [mm]C^{-1}[/mm] heran.
>
> Anschließend dasselbe mit [mm]D^{-1}.[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Meine Frage ist nun: Wenn ich das so machen würde, würde dann da nicht 0=0 rauskommen, da [mm]A^{-1} * A [/mm]=E?
Gruß Tim
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Hallo,
Du hast also bereits CD=DC.
Nach Voraussetzung sind C und D invertierbar. Es ist also sinnvoll, wenn wir [mm] C^{-1} [/mm] und [mm] D^{-1} [/mm] schreiben.
Jetzt kommt die Durchführung dessen, was ich vorhin beschrieb: rechts und links [mm] C^{-1} [/mm] heranmultiplizieren. Das ergibt
[mm] C^{-1}CDC^{-1}=C^{-1}DCC^{-1}
[/mm]
[mm] ==>DC^{-1}=C^{-1}D
[/mm]
Nun von beiden Seiten [mm] D^{-1}:
[/mm]
[mm] D^{-1}DC^{-1}D^{-1}=D^{-1}C^{-1}DD^{-1} [/mm] ==> ... !!!
Gruß v. Angela
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AAAHHH!!!
Jetzt verstehe ich was du mit LINKS und RECHTS meinst :)
So wirds natürlich klar.
Dankeschön für die schnelle Anwort
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