Bsp nicht diagonalisierbar < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Mi 18.02.2009 | | Autor: | suzan_7 |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine nicht diagonalisierbare Matrix an, welche ein zerfallenes charakteristisches Polynom hat. |
Hallo,
ich brüte gerade über die oben genannte frage.
und habe mir überlegt, dass dies eine Matrix sein könnte, die auf der Diagonale nur Nullen hat (und darunter) und oberhalb der Hauptdiagonalen nur Werte aus R.
Das charakteristische Polynom wäre doch p(t)= [mm] (-1)^n [/mm] * [mm] t^n
[/mm]
zerfällt also, aber ich erhalt keine diagonalmatrix, da alle eigenwerte c=0
ist meine idee richtig?
oder gibt es noch weitere bsp??
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> Geben Sie ein Beispiel für eine nicht diagonalisierbare
> Matrix an, welche ein zerfallenes charakteristisches
> Polynom hat.
> Hallo,
> ich brüte gerade über die oben genannte frage.
> und habe mir überlegt, dass dies eine Matrix sein könnte,
> die auf der Diagonale nur Nullen hat (und darunter) und
> oberhalb der Hauptdiagonalen nur Werte aus R.
> Das charakteristische Polynom wäre doch p(t)= [mm](-1)^n[/mm] *
> [mm]t^n[/mm]
> zerfällt also, aber ich erhalt keine diagonalmatrix, da
> alle eigenwerte c=0
>
> ist meine idee richtig?
> oder gibt es noch weitere bsp??
Hallo,
Deine idee funktioniert:
wenn Du eine obere Dreiecksmatrix hast, deren Eigenwerte alle =0 sind, dann kann diese höchstens den Rang n-1 haben, und sofern einer der Einträge über der Diagonalen [mm] \not=0 [/mm] ist, ist Ihr Rang mindestens 1. Der Kern hat also eine Dimension zwischen 1 und n-1, dh. es gibt keine Basis aus Eigenvektoren.
Ja, Du kannst weitere Beispiele von Dreiecksmatrizen finden, und Du brauchst dafür keine Nullen auf der Hauptdiangonalen. Aber mindestens zwei Eigenwerte müssen gleich sein, das ist Voraussetzung - allein das aber reicht nicht, es kommt darauf an, daß die Eigenräume die richtige Dimension haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Do 19.02.2009 | | Autor: | suzan_7 |
Danke, für die schnelle antwort.
die idee die du noch nennst habe ich auch gehabt.
ich weiß das eine matrix nicht diagonalisierbar ist, wenn die dimension des erweiterten eigenraums kleiner ist als die multipizität.
aber wie finde ich eine solche matrix?
funktioniert das nur mir raten und probieren oder gibt es da tricks??
ist sonst nämlich echt aufwendig.
LG
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> die idee die du noch nennst habe ich auch gehabt.
> ich weiß das eine matrix nicht diagonalisierbar ist, wenn
> die dimension des erweiterten eigenraums kleiner ist als
> die multipizität.
> aber wie finde ich eine solche matrix?
> funktioniert das nur mir raten und probieren oder gibt es
> da tricks??
Hallo,
über den Rang kannst Du die Dir doch bauen.
Wenn Du z.B. [mm] \pmat{3&\*&\*\\ 0&3&\*\\ 0&0&4} [/mm] hast, dann berechnet Du für den Eigenraum von 3 ja den Kern von [mm] \pmat{0&\*&\*\\ 0&0&\*\\ 0&0&1},
[/mm]
Nun mußt Du es bloß so geschickt einfädeln, daß Du die Sternchen so wählst, daß der Rang der Matrix [mm] \pmat{0&\*&\*\\ 0&0&\*\\ 0&0&1} [/mm] nicht 2 sondern 1 ist.
Gruß v. Angela
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