Bruch integrieren < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 Sa 20.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie eine Stammfunktion von
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx} [/mm] |
Hallo,
versuche mich grade an dieser Aufgabe aber komme nicht so ganz weiter:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}
[/mm]
Substitution:
u= [mm] x^2 [/mm] +x
u' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = 2x+1
dx= [mm] \bruch{du}{2x+1}
[/mm]
jetzt ins Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{u} \bruch{du}{2x+1}}
[/mm]
aber jetzt weiß ich nicht genau wie es weitergeht denn folgendes ist ja falsch:
[mm] \bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u} }
[/mm]
und dann resubstitution...
gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Sa 20.03.2010 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie eine Stammfunktion von
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}[/mm]
> Hallo,
>
> versuche mich grade an dieser Aufgabe aber komme nicht so
> ganz weiter:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}[/mm]
>
Hallo,
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x+0,25-0,25} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x+0,5)^2-0.25} dx}
[/mm]
[mm] =0,25\integral_{}^{}{\bruch{1}{4(x+0,5)^2-1} dx}
[/mm]
[mm] =0,25\integral_{}^{}{\bruch{1}{(2x+1)^2-1} dx}
[/mm]
Jetzt substituiere 2x+1=z.
Gruß Abakus
> Substitution:
>
> u= [mm]x^2[/mm] +x
> u' = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 2x+1
> dx= [mm]\bruch{du}{2x+1}[/mm]
>
> jetzt ins Integral
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{u} \bruch{du}{2x+1}}[/mm]
>
> aber jetzt weiß ich nicht genau wie es weitergeht denn
> folgendes ist ja falsch:
>
> [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u} }[/mm]
> und dann
> resubstitution...
>
> gruß,
> peeetaaa
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Sa 20.03.2010 | | Autor: | abakus |
> > Bestimmen Sie eine Stammfunktion von
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}[/mm]
> > Hallo,
> >
> > versuche mich grade an dieser Aufgabe aber komme nicht so
> > ganz weiter:
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}[/mm]
> >
> Hallo,
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x+0,25-0,25} dx}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x+0,5)^2-0.25} dx}[/mm]
>
> [mm]=0,25\integral_{}^{}{\bruch{1}{4(x+0,5)^2-1} dx}[/mm]
>
> [mm]=0,25\integral_{}^{}{\bruch{1}{(2x+1)^2-1} dx}[/mm]
> Jetzt
> substituiere 2x+1=z.
> Gruß Abakus
Halt,
Moment mal. Ich glaube, eine Partialbruchzerlegung von [mm] \bruch{1}{x^2+x} =\bruch{1}{x(x+1)} =\bruch{1}{x} -\bruch{1}{x+1} [/mm] sollte viel einfacher zum Ziel führen.
>
> > Substitution:
> >
> > u= [mm]x^2[/mm] +x
> > u' = [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = 2x+1
> > dx= [mm]\bruch{du}{2x+1}[/mm]
> >
> > jetzt ins Integral
> >
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx}[/mm] =
> > [mm]\integral_{}^{}{\bruch{x}{u} \bruch{du}{2x+1}}[/mm]
> >
> > aber jetzt weiß ich nicht genau wie es weitergeht denn
> > folgendes ist ja falsch:
> >
> > [mm]\bruch{1}{2} \integral_{}^{}{\bruch{1}{u} }[/mm]
> > und dann
> > resubstitution...
> >
> > gruß,
> > peeetaaa
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Sa 20.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
ach danke wenn ich das sogar mit Partialbruchzerlegung machen dann hab ich das jetzt so gemacht:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx} [/mm]
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x(x+1)} dx}
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{1}{x(x+1)} [/mm] = [mm] \bruch{A}{x} [/mm] + [mm] \bruch{B}{x+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{A(x+1) + Bx}{x^2+x} [/mm] = [mm] \bruch{ (A+B)x +A}{x^2+x}
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
0=A+B
<=> A= -B
sowie
1=A => B=-1
ins Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+x} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x(x+1)} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x+1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} -\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x+1)} dx}
[/mm]
Stammfunktion:
ln(x) - ln(x+1)
so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo peeetaaa!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Do 25.03.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Danke!!!
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