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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Ramtin |
| Aufgabe | a)Ein Strahl, der von einem Brennpunkt E1 einer Ellipse ausgeht, wird an der Ellipse so reflektiert, dass er durch den anderen Brennpunkt E2 geht. Hierbei muss für die Brennweite e die Beziehung e²=a²-b² erfüllt sein.
b) Untersuchen Sie, ob es ähnliche Aussagen auch für Parabeln und Hyperbeln gibt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo,
ich habe große Schwierigkeiten die folgende Aussage zu beweisen.
a)Ein Strahl, der von einem Brennpunkt E1 einer Ellipse ausgeht, wird an der Ellipse so reflektiert, dass er durch den anderen Brennpunkt E2 geht. Hierbei muss für die Brennweite e die Beziehung e²=a²-b² erfüllt sein.
b) Untersuchen Sie, ob es ähnliche Aussagen auch für Parabeln und Hyperbeln gibt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:17 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ramtin
Welche Gleichungen und Eigenschaften kennst du von der Ellipse?
Reflexion: einfallswinkel = Ausfallswinkel (zum Lot, oder zur Tangente gerechnet.
Überleg dir, dass die Tangente die Winkel zw. den Brennstrahlen halbieren muss, weil das das Lot auch muss, wenn der Satz stimmt.
Bei der Parabel werden alle Strahlen parallel zur Achse in den Brennpkt reflektiert! (Deshalb Parabolspiegel als Antennen)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Ramtin |
Das ist mir schon klar. Ich habe schon duzende Artikel über die Brennpunkteigenschaften der Ellipse gelesen. Habe diese auch mehr oder weniger verstanden. Aber ich schaffe es einfach nicht die These zu beweisen, dass e²=a²-b² sein soll.
Die Ellipse ist im Mittelpunkt eines kartesischen Koordinatensystems und hat die Längen
a=2 und b=1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hatte dich gefragt, welche Eigenschaften der Ellipse als bekannt vorrausgesetzt werden kann.Wisst ihr, dass die ellipse der geometrische Ort aller Punkte ist, die von 2 Punkten, den Brennpunkten gleiche Summe des Abstandes haben? Dann ist diese Summe =a also der Länge der großen Achse.
Wenn du dann die 2 Strahlen zum Ende der Kleinen Achse nimmst, hast du mit Pythagoras die Gleichung, weil ja ein Abstand dann a ist.
Jetzt kannst du geometrisch argumentieren, dass die Tangente die Winkelhalbierende ist, oder mit Tangentengleichung und den 2 Geraden durch den Tangentenpunkt rechnen, das wird aber schrecklich, ich würde es geometrisch machen, indem man beweisst, dass die Winkelhalbierende Tangente ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Ramtin |
Hallo leduart,
wie kann ich beweisen, dass die länge der großen achse a gleich die länge der hypothenuse ist? Ich weiss, dass es so ist da ich diesen beweis mit zahlen nachweisen kann, aber nicht allgemein sondern nur spezifisch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ramtin
1. Du musst Fragen als Fragen schicken, nicht als Mitteilung, sonst denkt jeder ist erledigt und alles im Grünen.
Ich frag dich jetzt zum letzen Mal: Was habt ihr über Ellipsen gelern? Das mit der Summe der Abstände? oder was sonst? Ohne das kann ich dir beim besten Willen keine Antwort geben ohne ein halbes Buch zu schreiben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 04.06.2006 | | Autor: | Ramtin |
Hallo leduart,
so ich habe eigentlich nur die Aufgabenstellung vorgesetzt bekommen. Ich setzte aber als Voraussetzung fest: die Ellipsengleichung, sprich sowohl die Gleichung für den Graphen als auch für den Abstand der Brennpunkte (2a).
Ich hoffe, dass reicht als Information.
e²=a²-b² (2b=Breite der Ellipse in y-Richtung, 2a=Länge der Ellipse in x-Richtung, e=Abstand der Brennpunkte vom Ursprung) also ist a=der Abstand vom Achsenursprung bis zur Ellipse, ebenso b. e=der Abstand vom Achsenursprung bis zum Brennpunkt. Der Brennpunkt liegt auf der x-Achse.
So mein Ansatz bis jetzt ist, dass ich einfach b=0 setze. Dann rutsch die Hypothenuse a auf die x-Achse.
Hab ich damit Bewiesen, dass die Hypothenuse a=der Breite der Ellipse vom Achsenursprung ist?
Danke schon im Voraus!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Ramtin
1.Gleichung der Ellipse, Mittelpunkt im Ursprung:
[mm] $\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1$ [/mm]
Hast du das? ausserdem folgt daraus mit y=0 [mm] x=\pm [/mm] a, d.h. a ist dder halbe Durchmesser auf der x-Achse, ebenso mit x=0 b ist der halbe durchmesser auf y- Achse.
b=0 ist sinnlos, denn dann hat man keine Ellipse mehr,
2. Brennpunkt entweder definiert mit [mm] $e^2=a^2-b^2$ [/mm] oder durch die Eigenschaft: die Summe der Abstände der Ellipsenpunkte von den 2 Brennpunkten ist konstant gleich 2a. Wenn man dann dden oberen Scheitelpunkt, also (0,b) nimmt, folgt die Berechnung des Brennpunktes.
Umgekehrt kann man zeigen, dass wenn die Gl. für e und die Ellipsengl. gilt, das mit der Summe der Abstände gilt.
Die Tangente kann man mit Ableitung finden, oder geometrisch: alle Punkte ausser dem Berührpunkt liegen ausserhalb, d,h, die Summe der Abstände von den Brennpunkten ist großer als 2a.
Es ist nicht schwer zu zeigen, dass das für die Winkelhalbierende der Brennstrahlen zu einem Punkt gilt. Das ist der geometrische Beweis, der ohne Rechnung auskommt, und nur die Definition der Ellipse als GO aller Punkte mit fester Abstandssumme zu den 2 Brennpkt. benutzt.
Der rechnerisch Beweis braucht die Steigung der Tangente in einem Punkt, die Richtung der 2 Brennstrahlen, daraus 2 einheitsvektoren Machen, deren Summe liegt auf der Winkelhalbierenden, muss also senkrecht auf der Tangente stehen, also Skalarprodukt mit Tangentenvektor = 0
Damit hast du Vorschläge, wieviel du davon verstehst, hängt von deinem Vorwissen ab, das ich nicht ergründen konnte! Also bezieh dich auf meinen Text und frag genauer nach,
Gruss leduart
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