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Hallo liebe Mathe-Raum-Leute,
ich sitze über einer Aufgabe, bei der ich weiß, daß Sie per Induktion lösbar sein soll, aber ich erkenne dies nicht! Wer kann mir bei der Lösung helfen????
Die Aufgabe lautet:
Auf n Zellen sollen k nicht unterscheidbare Teilchen verteilt werden, wobei jede Zelle beliebig viele Teilchen aufnehmen kann.
Man zeige: Es gibt genau
[mm] \vektor{n+k-1 \\ k} [/mm] verschiedene Verteilungen.
Ich hoffe, daß hier irgendwer ein bißchen schlauer ist als ich (manchmal denke ich das das nicht weiter schwer ist...)
Schonmal vorab: DANKE!!!
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Grüße!
Das geht zum Glück auch ohne Induktion, einfach mit Hilfe von Kombinatorik.
Also, wir nehmen an, dass wir $n$ Zellen und $k$ Teilchen haben. Dann werde ich eine gegebene Verteilung wie folgt codieren: für jedes Teilchen, dass sich in der ersten Zelle befindet, mache ich ein $X$. Dann kommt ein Trennzeichen (ich nehme hier einfach mal $T$ wie "Trennung") und dann kommt quasi Zelle 2: dann mache ich für jedes Teilchen in Zelle 2 ein $X$.
Es entsteht ein Wort, das z.B. so aussehen könnte:
$XXXX [mm] \; [/mm] T [mm] \; [/mm] XX [mm] \; [/mm] T [mm] \; [/mm] X [mm] \; T\; [/mm] T [mm] \; [/mm] XXXXXXX [mm] \; [/mm] T [mm] \; \ldots$
[/mm]
Das würde heißen:
Zelle 1: 4 Teilchen
Zelle 2: 2 Teilchen
Zelle 3: 1 Teilchen
Zelle 4: 0 Teilchen
Zelle 5: 7 Teilchen
Und so weiter.
Jetzt ist klar, dass ich jede mögliche Verteilung auf diese Art (eindeutig) aufschreiben kann. Wieviele verschiedene Möglichkeiten gibt es aber, diese Zeichen anzuordnen? Nun, es sind $k$ Teilchen, also steht $k$ mal das $X$ da. Und bei $n$ Zellen benötige ich $n-1$ mal das $T$ als Trennung (bei zwei Zellen nur 1 $T$, bei 3 Zellen zwei $T$ usw.)
Das heißt, mein "Wort" ist in jedem Fall $k + n - 1$ Zeichen lang, ich habe also genausoviele Positionen. Und wenn ich meine $k$ Zeichen $X$ auf diese Positionen verteilt habe, müssen die übrigen mit $T$ gefüllt sein.
Ich möchte also wissen, wieviele Möglichkeiten ich habe, aus einer Menge mit $k + n - 1$ Elementen (meine Positionen) eine $k$-elementige Teilmenge auszuwählen (das sind dann die Positionen, wo das $X$ steht).
Und da gibt es exakt ${ {k+n-1} [mm] \choose [/mm] k }$ Möglichkeiten.
Ganz einfach also. 
Lars
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