Borel-Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Do 26.05.2011 | | Autor: | j1805 |
| Aufgabe | [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] W-Raum und [mm](A_n)[/mm] Folge in [mm]\mathcal{A}[/mm]:
a) [mm]\sum_n P(A \cap A_n) = \infty \forall A \in \mathcal{A} : P(A)>0 \Rightarrow P(limsup A_n)=1[/mm]
b)[mm]\forall A \in \mathcal{A}: \sum_n P(A \cap A_n) < \infty \Rightarrow P(limsup A_n) \leq 1-P(A)[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe mit der Aufgabe folgendes Problem:
Das [mm]A \cap A_n[/mm] lässt mich verzweifeln, ohne das A würde Teil a) ja fast aus dem Borel-Cantelli Lemma folgen (leider fehlt hier die unabhängigkeit der [mm] A_n), [/mm] ich muss ja irgendwie benutzen dass dies für alle A gilt, die postive W'keit haben, aber dazu fehlt mir der Denkanstoß
Bei der b) habe ich mir folgendes Überlegt:
[mm] P(limsup A_n) [/mm]
[mm]= 1 - P(limsup A_n^c) [/mm]
[mm]= 1 - lim P(\cap_{k \geq n} A_k^c) [/mm]
[mm]\leq 1 - lim P(\cap_{k \geq n}A_k^c \cup A) [/mm]
[mm]\leq 1 - lim P(\cap_{k \geq n} A_k^c) + P(A) [/mm]
[mm]= 1 - P(A) , da \sum P(A \cap A_n) < \infty[/mm]
funktioniert der Beweis so, oder ist das eher problematisch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 Do 26.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Das $ A [mm] \cap A_n [/mm] $ lässt mich verzweifeln
Deine Notation läßt mich verzweifeln. Manchmal ist A A, manchmal ist A [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] dann soll mal $P(A)<0$ sein und von Leerzeichen haben sie auch noch nicht gehört, ganz zu schweigen von
> $ P(limsup [mm] A_n) [/mm] = 1 - P(limsup [mm] A_n)^c [/mm] $
Was zum Henker soll das Komplement einer reellen Zahl sein? Außerdem scheinst Du recht freizügig den Grenzwert aus der Wahrscheinlichkeit zu ziehen (oder Deine Version des [mm] $\limsup$ [/mm] ist falsch, oder ich versteh einfach nicht, was Du tust. Ich geb auf).
Zu 1.
Die Summe ist unendlich, wenn [mm] $P(A\cap A_n)>0$ [/mm] für unendlich viele n und für alle [mm] $A\in\mathcal{A}$. [/mm] Angenommen [mm] $A_n$ [/mm] schöpft [mm] $\Omega$ [/mm] nicht in Unendlichkeit fast völlig aus, d.h. [mm] $P(\limsup A_n)\neq P(\Omega)$, [/mm] dann muß ab einem gewissen N gelten [mm] $\Omega\setminus \left(\cup_{n\geq N}A_n\right)\neq \emptyset$ [/mm] und zusätzlich ...
Zu 2.
Aus Borel-Cantelli (braucht keine Unabhängigkeit für die Variante) folgt hier, daß für festes A gilt [mm] $P(\limsup(A\cap A_n))=0$. [/mm] Setz die Definition des [mm] $\limsup$ [/mm] ein und für ein paar Umformungen durch.
ciao
Stefan
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