Bolzano Weierstraß und ZWS < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mo 29.05.2006 | | Autor: | sclossa |
| Aufgabe 1 | | In einer mündlichen Prüfung wurde die Frage gestellt, wofür sich Bolzano-Weistraß anwenden lässt. Sieht vielleicht jemand, was man darauf antworten könnte? |
| Aufgabe 2 | Zusammenhang zwischen der Funktion f mir f:[0,1]->[0,1] hat Fixpunkt f(x*)=x* und ZWS f(x*)-x*= 0 gestellt.
(Möglicherweise fehlt etwas in der Aufgabenstellung?) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Da in mündlichen Prüfungen häufig der Zusammenhang zwischen den einzelnen Gebieten abgefragt wird, würde ich mich freuen, wenn mir jemand da weiterhelfen könnte...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In einer mündlichen Prüfung wurde die Frage gestellt, wofür
> sich Bolzano-Weistraß anwenden lässt. Sieht vielleicht
> jemand, was man darauf antworten könnte?
Der Satz wird gebraucht, um andere Sachen zu beweisen. Geh doch mal alle Beweise durch und schau, wo der Satz verwendet wird. Bei uns taucht er z.B. hier auf:
- Cauchysches Konvergenzkriterium (*);
- Streng monotone stetige Funktionen besitzen eine stetige Umkehrfunktion;
Diese beiden Resultate benutzt man ja im ``normalen (mathematischen) Leben'' dauernd, ohne weiter drueber nachzudenken.
(*): Bei einem anderen Zugang zu den reellen Zahlen kann es sein, dass dies anders bewiesen wird.
> Zusammenhang zwischen der Funktion f mir f:[0,1]->[0,1]
> hat Fixpunkt f(x*)=x* und ZWS f(x*)-x*= 0 gestellt.
Die Funktion $f$ hat genau dann einen Fixpunkt $x^*$, wenn $f(x^*) - x^* = 0$ ist. So. Mit dem ZWS kannst du jetzt die Funktion $g : [0, 1] [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] g(x) - x$ untersuchen. Es ist $g(0) [mm] \ge [/mm] 0$ und $g(1) [mm] \le [/mm] 0$. Wenn eins von beiden schon 0 ist bist du fertig. Andernfalls liefert dir der ZWS eine Nullstelle.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 29.05.2006 | | Autor: | sclossa |
> Die Funktion [mm]f[/mm] hat genau dann einen Fixpunkt [mm]x^*[/mm], wenn
> [mm]f(x^*) - x^* = 0[/mm] ist. So. Mit dem ZWS kannst du jetzt die
> Funktion [mm]g : [0, 1] \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto g(x) - x[/mm]
> untersuchen. Es ist [mm]g(0) \ge 0[/mm] und [mm]g(1) \le 0[/mm]. Wenn eins
> von beiden schon 0 ist bist du fertig. Andernfalls liefert
> dir der ZWS eine Nullstelle.
Wie kommst du Funktion g mit x [mm] \mapsto [/mm] g(x) - x ?
Der Rest ist anschaulich klar. Nur wie man von der Vorgabe, das f Fixpunkt besitzt mit f(x*)=x* mit ZWS in Verbindung bringt ist mir nicht klar geworden.
Lg Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Die Funktion [mm]f[/mm] hat genau dann einen Fixpunkt [mm]x^*[/mm], wenn
> > [mm]f(x^*) - x^* = 0[/mm] ist. So. Mit dem ZWS kannst du jetzt die
> > Funktion [mm]g : [0, 1] \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto g(x) - x[/mm]
> > untersuchen. Es ist [mm]g(0) \ge 0[/mm] und [mm]g(1) \le 0[/mm]. Wenn eins
> > von beiden schon 0 ist bist du fertig. Andernfalls liefert
> > dir der ZWS eine Nullstelle.
>
> Wie kommst du Funktion g mit x [mm]\mapsto[/mm] g(x) - x ?
Sorry, ich meinte $g : [0, 1] [mm] \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] f(x) - x$!
> Der Rest ist anschaulich klar. Nur wie man von der
> Vorgabe, das f Fixpunkt besitzt mit f(x*)=x* mit ZWS in
> Verbindung bringt ist mir nicht klar geworden.
Ist es mit dem neuen $g$ und der alten Erklaerung besser?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mo 29.05.2006 | | Autor: | sclossa |
Die Funktion [mm]f[/mm] hat genau dann einen Fixpunkt [mm]x^*[/mm], wenn [mm]f(x^*) - x^* = 0[/mm] ist. So. Mit dem ZWS kannst du jetzt die
Funktion [mm]g : [0, 1] \to \IR[/mm], [mm]x \mapsto f(x) - x[/mm]
untersuchen. Es ist [mm]g(0) \ge 0[/mm] und [mm]g(1) \le 0[/mm]. Wenn eins von beiden schon 0 ist bist du fertig. Andernfalls liefert
dir der ZWS eine Nullstelle.
Ja, die Erkärung ist jetzt schon einleuchtender. Aber warum muss
g(0) [mm] \ge [/mm] 0 und g(1) [mm] \le [/mm] 0 (oder umgekehrt) gelten? Lässt sich das ebenfalls durch die Voraussetzung f(x*)=x* herleiten und wenn ja wie genau.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mo 29.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja, die Erkärung ist jetzt schon einleuchtender. Aber warum
> muss
> g(0) [mm]\ge[/mm] 0 und g(1) [mm]\le[/mm] 0 (oder umgekehrt) gelten?
Umgekehrt nicht, das gilt schon genau so. Das folgt aus $f(x) [mm] \in [/mm] [0, 1]$ fuer alle $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$, also insb. $f(0) [mm] \ge [/mm] 0$ und $f(1) [mm] \le [/mm] 1$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 Di 30.05.2006 | | Autor: | sclossa |
> Zusammenhang zwischen der Funktion f mir f:[0,1]->[0,1]
> hat Fixpunkt f(x*)=x* und ZWS f(x*)-x*= 0
Also gilt zusammenfassend: f(x) = x [mm] \gdw [/mm] g(x) = 0
mit g:[0,1] -> R mit g(x) = 0 für bestimmtes x* [mm] \varepsilon [/mm] [0,1]
Es gilt, da f(x) [mm] \varepsilon [/mm] [0,1] für alle x [mm] \varepsilon [/mm] [0,1]
ist 0 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] 1 und somit f(0) [mm] \ge [/mm] 0 und f(1) [mm] \le [/mm] 1.
Da g(x) = f(x) - (x) ist, folgern wir nun, dass g(0) [mm] \ge [/mm] 0 und g(1) [mm] \le [/mm] 0
Somit haben wir 1) entweder werte g(a) < 0 und g(b) > 0 oder
2) g(0) = 0 oder g(1) = 0.
Und für den 1)ten Fall gilt dann der ZWS, im 2)ten Fall sind wir direkt fertig.
Kann man das jetzt so stehen lassen? Habe ich nun die Beziehung zwischen Fixpunktsatz und Zwischenwertsatz gut dargestellt?
Lg Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 30.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Zusammenhang zwischen der Funktion f mir f:[0,1]->[0,1]
> > hat Fixpunkt f(x*)=x* und ZWS f(x*)-x*= 0
>
> Also gilt zusammenfassend: f(x) = x [mm]\gdw[/mm] g(x) = 0
> mit g:[0,1] -> R mit g(x) = 0 für bestimmtes x*
> [mm]\varepsilon[/mm] [0,1]
> Es gilt, da f(x) [mm]\varepsilon[/mm] [0,1] für alle x [mm]\varepsilon[/mm]
> [0,1]
> ist 0 [mm]\le[/mm] f(x) [mm]\le[/mm] 1 und somit f(0) [mm]\ge[/mm] 0 und f(1) [mm]\le[/mm]
> 1.
>
> Da g(x) = f(x) - (x) ist, folgern wir nun, dass g(0) [mm]\ge[/mm] 0
> und g(1) [mm]\le[/mm] 0
> Somit haben wir 1) entweder werte g(a) < 0 und g(b) > 0
> oder
> 2) g(0) = 0 oder g(1) = 0.
> Und für den 1)ten Fall gilt dann der ZWS, im 2)ten Fall
> sind wir direkt fertig.
>
> Kann man das jetzt so stehen lassen? Habe ich nun die
> Beziehung zwischen Fixpunktsatz und Zwischenwertsatz gut
> dargestellt?
Ich wuerde sagen ja! Was man sich noch fragen koennte, ob man mit dem Fixpunktsatz auch den Zwischenwertsatz zeigen koennte. Ich wuerde spontan sagen ja, hab aber grad keine Idee wie man sich die Funktion zurechtbasteln muesste... Ist wahrscheinlich etwas kniffeliger...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mi 31.05.2006 | | Autor: | sclossa |
> > > Zusammenhang zwischen der Funktion f mir f:[a,b]->[a,b]
> > > hat Fixpunkt f(x*)=x* und ZWS
> > Also gilt zusammenfassend: f(x) = x [mm]\gdw[/mm] g(x) = 0
> > mit g:[a,b] -> R mit g(x) = 0 für bestimmtes x*
> > [mm]\varepsilon[/mm] [0,1]
> > Es gilt, da f(x) [mm]\varepsilon[/mm] [a,b] für alle x
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > [a,b]
> > ist a [mm]\le[/mm] f(x) [mm]\le[/mm] b und somit f(a) [mm]\ge[/mm] a und f(b)
> [mm]\le[/mm]
> > b.
> >
> > Da g(x) = f(x) - (x) ist, folgern wir nun, dass g(a) [mm]\ge[/mm] 0
> > und g(b) [mm]\le[/mm] 0
> > Somit haben wir 1) entweder werte g(a) < 0 und g(b) > 0
> > oder
> > 2) g(a) = 0 oder g(b) = 0.
> > Und für den 1)ten Fall gilt dann der ZWS, im 2)ten Fall
> > sind wir direkt fertig.
Somit folgt also aus dem Fixpunktsatz der ZWS... und umgekehrt gilt das natürlich auch... wenn eine Funktion f(x) gegen ist setzt man f(x) = 0, löst
nach x auf (wobei es mehrere Möglichkeiten geben kann - man muss die "richtige" auswählen) und erhält so die rekursiv definierte Folge
[mm] x_{k+1} [/mm] = f( [mm] x_{0} [/mm] ) für ein [mm] x_{0} \varepsilon [/mm] [a,b] beliebig.
Was meinst du, sieht doch gut aus?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 31.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Somit folgt also aus dem Fixpunktsatz der ZWS... und
> umgekehrt gilt das natürlich auch... wenn eine Funktion
> f(x) gegen ist setzt man f(x) = 0, löst
> nach x auf
Wie macht man das denn? Das geht doch nur, wenn man weiss, dass $x$ eine Nullstelle hat!
> (wobei es mehrere Möglichkeiten geben kann -
> man muss die "richtige" auswählen) und erhält so die
> rekursiv definierte Folge
> [mm]x_{k+1}[/mm] = f( [mm]x_{0}[/mm] ) für ein [mm]x_{0} \varepsilon[/mm] [a,b]
> beliebig.
Das ist eine konkrete Methode, die bei manchen bestimmten, explizit gegebenen Funktionen zum Ziel fuehren kann. Das ist aber alles andere als ein Beweis und funktioniert insbesondere nicht mit beliebigen Funktionen.
Und wo du hier den Fixpunktsatz brauchst hast du auch nicht gesagt (fuer $x = f(x)$ sicher nicht, da $f$ i.A. nicht umbedingt Werte in $[0, 1]$ annimmt).
LG Felix
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