Bogenlänge berechnen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:52 Mi 30.03.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Man betrachte die logarithmische Spirale
[mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{e^{t} cos t \\ e^{t} sin t} [/mm] mit t [mm] \in [0,2\pi]
[/mm]
a) Berechnen Sie die bogenlänge der Spirale
b) Berechnen Sie eine Parametrisierung dieser Kurve mit hilfe der Bogenlänge. |
Kann mit bitte jemand helfen auf einen Ansatz zu kommen bzw. nötiges Theoriewissen nochmals erläutern, da ich das im Untericht nicht so ganz verstanden habe?!
Dank im vorraus
lg mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mi 30.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Für einen stückweise stetig differenzierbaren Weg
$ \vec{x}(t) $ = $ \vektor{x_1(t) \\ x_2(t) $ mit t $ \in [a,b] $ ist die Weglänge (Bogenlänge) gegeben durch
\integral_{a}^{b}{\wurzel{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2} dt}
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Mi 30.03.2011 | | Autor: | mwieland |
danke mal soweit, die formel hab ich nun verstanden (weiß auch nicht, bei uns wurde das irgendwie komisch vorgetragen...)
ich komme nun auf folgendes, wenn ich einsetze:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{(e^{t}cos(t)-e^{t}sin(t))^{2}+(e^{t}cos(t)+e^{t}sin(t))^{2}} dt}
[/mm]
könnte mir vielleicht jemand einen hinweis geben, wie ich dieses integral am besten löse, da ich mir mit den wurzeln immer schwer tue...
danke, mark
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Hallo mwieland!
Multipliziere die Klammern unter der Wurzel aus und fasse zusammen, klammere dann [mm] $e^t$ [/mm] aus.
Wenn man anschließend noch [mm] $\sin^2(t)+\cos^2(t) [/mm] \ = \ 1$ anwendet, verbleibt ein ziemlich einfaches Integral.
Gruß vom
Roadrunner
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