Binomischer Lehrsatz in Z_p < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Torste |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
In [mm] R:=\IZ_p [/mm] mit einer Primzahl p gilt: [mm] (r+s)^p=r^p+s^p [/mm] für alle [mm] r,s\inR. [/mm] |
Hallo,
ich sitze gerade an obiger Aufgabe, komme aber an einer Stelle nicht weiter - hier mein bisheriger Ansatz:
[mm] (r+s)^p=\summe_{k=0}^{p}\vektor{p \\ k}r^{p-k}s^k=r^p+\summe_{k=1}^{p-1} (p!)/(k!(p-k)!)r^{p-k}s^k+s^p
[/mm]
Jetzt sieht man ja schon, dass alle unausgeschriebenen Summanden irgendwie wegfallen müssen! Aber ich weiß nicht genau warum!
Ich denke es hat etwas mit p zu tun, weil p ja ein Primzahl ist, also keinen Teiler außer 1 und sich selber hat und wir in [mm] \IZ_p [/mm] sind...aber wie hilft mir das?
Kann ich p ausklammern und dann einfach sagen, dass der Rest dann von allen Summanden o ist!? Ist das dann die Erklärung das der Rest der Summe Null wird!?
Es wäre wirklich toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte!
Besten Dank schonmal
Torste
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Zeige: Ist p eine Primzahl, so gilt [mm] $\forall [/mm] 1<k<p: [mm] p|\vektor{p\\k}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Torste |
Hallo Teufel - danke für die schnelle Antwort!
Ok!
Es gilt:
[mm] \vektor{p \\ k}=p!/k!*(p-k)!=p*((p-1)!/(k!*(p-k)!) [/mm] Also ist [mm] \vektor{p \\ k} [/mm] für alle 1<k<p durch p teilbar, da man p ja ausklammern kann.
Aber inwiefern sagt mir das jetzt, dass der mittlere teil wegfällt? Das verstehe ich noch nicht! Ich glaube ich verstehe das mit dem Ring auch noch nicht so recht! Mit der bewiesenen Aussage kommt man ja jetzt darauf das der Rest jedes Summanden null ist, da alle durch p teilbar sind...
Geht es also nur um die Reste und garnicht um die Werte der Summanden?
Torste
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:33 Fr 08.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn eine Zahl durch p teilbar ist also p|z was ist dann z modp?
was ist also das Ergebnis deiner Summe mod p?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:38 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Torste |
Dann ist z mod p Null , also ist auch die Summe Null!
So kann man das begründen?
Das ist mir noch irgendwie etwas fremd, weil dies meine erste Aufgabe mit Modulo-Rechnung ist - es geht also nicht n´mehr um die Ergebnisse, sondern nur um die Reste!? Etwas gewöhnungsbedürftig, aber ich denke dann habe ich es kapiert!
Vielen Dank euch beiden!
Und könnte jemand mir vielleicht nochmal verdeutlichen, warum diese Modulo-Rechnungen so eigentlich sinnvoll sind?
Gruß und vielen Dank
Torste
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Fr 08.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Torste,
als erste Aufgabe in der Restklassen- oder Modulrechnung ist das aber happig, wenn auch mit meist noch vertrauten Mitteln lösbar, siehe oben.
> Dann ist z mod p Null , also ist auch die Summe Null!
> So kann man das begründen?
Ja, genau.
> Das ist mir noch irgendwie etwas fremd, weil dies meine
> erste Aufgabe mit Modulo-Rechnung ist - es geht also nicht
> n´mehr um die Ergebnisse, sondern nur um die Reste!?
Hm. Die Reste sind hier die Ergebnisse. Andere gibt es nicht.
> Etwas
> gewöhnungsbedürftig, aber ich denke dann habe ich es
> kapiert!
> Vielen Dank euch beiden!
> Und könnte jemand mir vielleicht nochmal verdeutlichen,
> warum diese Modulo-Rechnungen so eigentlich sinnvoll sind?
Aus dem gleichen Grund, warum die Einführung der Addition sinnvoll ist. Man erschließt damit Zusammenhänge, die ohne diese Rechenweise bedeutungslos wären. Und wenn nicht viele davon hochinteressant wären, dann hätte sich die Modulrechnung sicher nicht durchgesetzt.
> Gruß und vielen Dank
> Torste
Klar doch. 
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:01 Sa 09.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Teufel - danke für die schnelle Antwort!
> Ok!
> Es gilt:
> [mm]\vektor{p \\ k}=p!/k!*(p-k)!=p*((p-1)!/(k!*(p-k)!)[/mm] Also
> ist [mm]\vektor{p \\ k}[/mm] für alle 1<k<p durch p teilbar, da man
> p ja ausklammern kann.
Die Begruendung reicht nicht. Demnach kann man ja auch 3 durch 2 teilen: es ist $3 = [mm] \frac{2 \cdot 3}{2}$, [/mm] und somit kann man $3 = 2 [mm] \cdot \frac{3}{2}$ [/mm] schreiben, also 2 ausklammern.
Du musst also noch zeigen, dass $(p - 1)!$ durch $k! (p - k)!$ teilbar ist, d.h. dass [mm] $\frac{(p - 1)!}{k! (p - k)!} \in \IZ$ [/mm] ist (fuer $0 < k < p$).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:25 Sa 09.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Die Begruendung reicht nicht.
Wohl wahr.
> Du musst also noch zeigen, dass [mm](p - 1)![/mm] durch [mm]k! (p - k)![/mm]
> teilbar ist, d.h. dass [mm]\frac{(p - 1)!}{k! (p - k)!} \in \IZ[/mm]
> ist (fuer [mm]0 < k < p[/mm]).
Oder du zeigst, dass der Faktor p im Zähler nicht gekürzt werden kann, weil er im Nenner nicht vorkommt. Das ist einfacher.
Du darfst bestimmt voraussetzen, dass alle Binomialkoeffizienten ganzzahlig sind. Die von Felix geforderte Eigenschaft folgt aus den andern beiden (also p nicht kürzbar, Bin.koeff ganzzahlig).
Grüße
reverend
PS: Wenn auch die Herleitung über das Pascalsche Dreieck gilt, kann ja kein Bin.koeff. anders sein als ganzzahlig (und positiv)!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:51 Sa 09.04.2011 | | Autor: | Torste |
Stimmt, das habe ich garnicht beachtet, so könnte man p ja wegkürzen und das Argument würde nicht mehr gelten.
Dann würde es doch reichen zu sagen, da p eine Primzahl ist, wird sie nicht von k geteilt, da 0<k<p und auch (p-k)! könnte p dann ja nicht teilen, da alle Faktoren kleiner als p sind und p aber nur durch sich selber und 1(und das kürzt p nihct weg) geteilt wird!
Also teilt p dann [mm] \vektor{p \\ k}.
[/mm]
Könnte man das auch irgendwie mathematisch schön aufschreiben?
Und vielen, vielen Dank euch allen
Torste
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 09.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
p teilt aber nicht [mm] \vektor{p\\0}=\vektor{p\\p}=1.
[/mm]
Deine Argumentation stimmt aber für alle k mit 0<k<p.
Und schön aufschreiben konnte ich noch nie. Deswegen dies nur mal als Mitteilung...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mo 11.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 09.04.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Siehe auch hier: Klick. Die gleiche Frage hatte ich ja auch mal. :)
|
|
|
|
